帶有三角函數的二維分數階離散系統的混沌現象

劉明明, 夏鐵成,王金波

(1.上海大學理學院,上海200444;2.中國電子科技集團公司第三十研究所國家保密通訊重點實驗室,成都610041)

分數階微積分作為數學建模的一種可靠工具,在過去幾十年中得到了廣泛的應用,并取得了豐碩的成果.離散分數階微積分是分數階微積分在時間尺度下的理論發展[1-3],被用來描述離散時間的動力學行為,已取得的成果主要有Taylor級數[4]、分數階差分定義及其性質[5-6]、Laplace變換[7]等.然而,目前對動力學行為方面的研究較少.本工作在一個帶有三角函數的二維離散混沌系統的基礎上,利用分數階差分構造了一個新的混沌系統,并刻畫了其混沌現象,以更加深入地理解離散動力學行為.

1 帶有三角函數的二維離散混沌系統

考慮一個具有如下形式的離散混沌系統[8]:

利用Jacobian矩陣法得到系統(1)的2個均大于0的Lyapunov指數:λ1=1.474 10,λ2=0.820 19.所以,系統(1)的運動是混沌的,而且下面的數值模擬也說明了這一點.

取n=100,圖1(a)和(b)為系統(1)在初始值為(0,0)時的解;當初始值的x坐標依步長1.6從?8到8,y坐標依步長0.1從?0.5到0.5時,可得到系統(1)的相位圖,如圖1(c)所示.

圖1 系統(1)中的混沌Fig.1 Chaos in system(1)

2 離散分數階微積分

在推廣之前,首先介紹與離散分數階微積分相關的概念[1,5,9].

考慮階乘多項式

這里Γ指Gamma函數,并且如果對于某些j有t+1?j=0,則約定值為零.對n進行擴展,有定義

迭代地定義算子?j= ?(?j?1),這里j是非負整數,?0表示恒等算子并且?1f(t)=?f(t)=f(t+1)?f(t).令Na表示離散的時間尺度,Na={a,a+1,···},其中a∈R固定.考慮具有如下形式的初值問題

這里σ(s)=s+1.注意到,當s=t? (n? 1),···,t?1時,=0,有

于是,有如下定義.

定義1 設ν>0且σ(s)=s+1,那么被稱作f的ν階分數階和.注意到,??ν把定義在Na上的函數映射到了Na+ν上.

利用定義1可以定義函數f的ν階Caputo分數階差分如下.

定義2令ν>0,ν/∈N,定義

為函數f的ν階Caputo分數階差分,其中n=[ν]+1.

如果ν=n∈N?,那么

同樣地,要注意C把定義在Na上的函數映射到了Na+(n?ν)上.

引理1[10]對于Caputo分數階差分方程

可以獲得其等價方程

3 分數階的相應離散混沌系統

對于系統(1),第一個方程可改寫為

于是,擴展后的ν(0<ν<1)階Caputo分數階差分方程可設為

由引理3,可得方程(2)的等價方程

這里t∈ Na+1.記j=s?a+ν,t=n+a,n=1,2,···,另記x(j)=X(a+j),y(j)=Y(a+j),?j ∈ {0,1,···,n}.則方程(3)可改寫成

所以,系統(1)擴展后的形式為

4 分數階離散系統的混沌現象

根據式(4)很容易發現,x(n)依賴其過去的信息x(0),x(1),···,x(n?1),將該現象稱為系統的離散記憶效應.當ν=1時,系統(5)正是系統(1).當ν取不同值時,系統(5)對應不同的混沌現象.

首先考慮x關于參數α的分岔現象.取n=100,初始值為(0,0),α依步長0.01從0到1.00,β=0.01固定,則x關于參數α的分岔圖如圖2所示.

圖2 x關于參數α的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagrams of x concerning α

類似地,仍取n=100,考慮系統(5)在初始值為(0,0)時的解,以及當初始值的x坐標依步長1.6從?8.0到8.0,y坐標依步長0.1從?0.5到0.5時,系統(5)的相位圖.圖3～5分別刻畫了ν=0.999,0.900以及0.850時系統(5)的混沌現象.

圖 3 ν=0.999時系統(5)中的混沌Fig.3 Chaos in system(5)when ν=0.999

圖 4 ν=0.900時系統(5)中的混沌Fig.4 Chaos in system(5)when ν=0.900

圖 5 ν=0.850時系統(5)中的混沌Fig.5 Chaos in system(5)when ν=0.850

5 結束語

分數階差分是生成分數階離散映射的一個有效工具,本工作就是利用分數階差分,在一個離散混沌系統的基礎上,生成了一個分數階的離散混沌系統.比較原系統及新系統在不同分數階下的相位圖可以直觀地看到,0<ν<1的系統是原系統的擴展.此外,值得一提的是,分數階的離散混沌系統在圖像信息隱藏方面具有很好的應用.