導數壓軸題中關于f(x1)-f(x2)取值范圍的解決策略

■河南省羅山高級中學 高尤瓊

通過研究近幾年高考的導數壓軸題發現，求f(x1)-f(x2)范圍的問題多次出現。筆者通過對此類試題進行研究，發現了題目的共性，總結出解題經驗，希望能幫同學們順利解決此類問題。

例題：(鄭州外國語學校月考)設x=m和x=n是函數(a+2)x的兩個極值點，其中m＜n，a∈R。

(1)求f(m)+f(n)的取值范圍；

解析：

因為x=m和x=n是函數f(x)的兩個極值點，所以方程x2-(a+2)x+1=0有兩個不等的正根m，n，其中m＜n。

故a＞0，m+n=a+2，m n=1。

因此，f(m)+f(n)=l nm n+1＜-3。

所以f(m)+f(n)的取值范圍是(-∞，-3)。

因此，f(n)-f(m)

所以g(t)在[e，+∞)上單調遞減，g(t)

故f(n)-f(m)的最大值是

因為n＞1，所以

因此，f(n)-f(m)

令n2=t，則t≥e，f(n)-f(m)=g(t)

g'(t)=，所以g(t)在[e，+∞)上單調遞減

故f(n)-f(m)的最大值是

小結：

(1)函數的定義域為(0，+∞)。因為極值點在定義域內，所以m，n為正數。根據導數中極值點的含義將x=m和x=n代入導函數，再由根與系數的關系得到m，n與參數a的關系式，并得到a的取值范圍，進而由參數a的取值范圍得出f(m)+f(n)的取值范圍。

跟蹤練習1.(河北衡水中學2019年調研)已知函數f(x)=al nx-x+1。

(1)若f(x)＜0對任意x∈(1，+∞)恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)當0＜a≤e+時，若函數g(x)=有兩個極值點x1，x2(x1＜x2)，求g(x2)-g(x1)的最大值。

解析：(1)對f(x)=al nx-x+1求導，

當a≤1時，f'(x)＜0，所以f(x)在區間(1，+∞)上單調遞減，則有f(x)＜f(1)=0，從而f(x)＜0。

當a＞1時，令f'(x)=0，得x=a。當x∈(1，a)時，f'(x)＞0，則f(x)在區間(1，a)上單調遞增，f(x)＞f(1)=0，與f(x)＜0恒成立矛盾，因此不符合題意。

綜上，實數a的取值范圍為(-∞，1]。

由已知可得g'(x)=0，即關于x的方程-x2+a x-1=0有兩個不相等的實數根x1，x2(x1＜x2)，則

故g(x2)-g(x1)

由1＜x≤e，得，故t'(x)＞0。

所以t(x)在(1，e]上單調遞增，當x=e時，t(x)取得最大值。

小結：本題用例題的解法2較為簡單，利用x1，x2的關系，換掉其中一個變量。

跟蹤練習2.(湖南長郡中學2019屆高三月考)已知函數f(x)=l nx-a x2在x=1處的切線與直線x-y+1=0垂直。

(1)求函數t(x)=f(x)+x f'(x)(f'(x)為f(x)的導函數)的單調遞增區間；

解析：(1)由題意可得并且f'(1)=1-2a=-1，解得a=1。

又因為t(x)=f(x)+x f'(x)=l nx-3x2+1，所以

故t(x)的單調增區間為

(2)g(x)=l n則

因為x1，x2是g(x)的兩個極值點，所以x1，x2是方程x2-(1+b)x+1=0的兩個根。

由根與系數的關系可知：

由x1＜x2，可知0＜x1＜1。

所以g(x1)-g(x2)

小結：本題用例題中的解法2較為簡單，利用x1，x2的關系，換掉其中一個變量。

跟蹤練習3.(2017年洛陽市尖子生聯考)已知函數f(x)=l nx+m x(m為常數)。

(1)討論函數f(x)的單調區間；

解析：(1)

①當m＜0時，由1+m x＞0，解得x＜即當時，f'(x)＞0，f(x)單調遞增。

由1+m x＜0解得，即當x＞時，f'(x)＜0，f(x)單調遞減。

②當m=0時，即f(x)在(0，+∞)上單調遞增。

③當m＞0時，1+m x＞0，故f'(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上單調遞增。

所以，當m＜0時，f(x)的單調遞增區間為單調遞減區間為當m≥0時，f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)。

(2)由g(x)=l nx+m x得

已知x2+m x+1=0有兩個互異實根x1，x2，故由根與系數的關系得x1+x2=-m，x1x2=1。

因為x1，x2(x1＜x2)是h(x)的兩個零點，所以h(x1)=2 l nx1--a x1=0；①

h(x2)=2 l nx2--a x2=0。②

由②-①得：

解得

小結：(1)求出函數的導數，通過討論m的范圍，便可求出函數的單調區間。

(2)先求出函數的導數，得到x1+x2=-m，x1x2=1，再求出y=(x1-x2)·的解析式，根據例題的解法1，構造新函數，依據函數的單調性求出其最小值。

跟蹤練習4.(2017年河南信陽聯考)已知函數

(1)a≥-2時，求F(x)=f(x)-g(x)的單調區間；

(2)設h(x)=f(x)+g(x)，且h(x)有兩個極值點為x1，x2，其中，求h(x1)-h(x2)的最小值。

解析：(1)由題意知F(x)=f(x)-，定義域為(0，+∞)。

令m(x)=x2-a x+1=0，有Δ=a2-4。

①當-2≤a≤2時，F'(x)≥0，F(x)的單調增區間為(0，+∞)。

②當a＞2時，F'(x)=0的兩根為x1=此時F(x)的單 調 增 區 間 為和F(x)的單調減區間為

綜上，當-2≤a≤2時，F(x)的單調增區間為(0，+∞)；當a＞2時，F(x)的單調增區間為F(x)的 單 調 減 區 間 為

(2)由題意知h(x)=f(x)+g(x)=

方程h'(x)=0的兩根分別為x1，x2，則有x1·x2=1，x1+x2=-a。

小結：本題用例題中的解法2較為簡單，利用x1，x2的關系，換掉其中一個變量。

跟蹤練習5.(2017年蕪湖模擬卷)已知函數

(1)若a=2，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線l的方程；

(2)設函數g(x)=f'(x)有兩個極值點x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)-g(x2)的最小值。

解析：(1)當a=2時，f'(x)=2 l nx+x

f(1)=故切線l的方程為2(x-1)，即4x-2y-3=0。

(2)g(x)=al nx+x-，定義域為，定義域為(0，+∞)。(0，+∞)。

令g'(x)=0，則x2+a x+1=0。

其兩根為x1，x2，且x1+x2=-a，x1x2=1，故

則(g(x1)-g(x2))min=h(x)min，h'(x)

當x∈(0，1]時，恒有h'(x)≤0；

當x∈(1，e]時，恒有h'(x)＜0。

總之，h(x)在x∈(0，e]上單調遞減。

故(g(x1)-g(x2))min=

小結：(1)求出函數的導數，計算f(1)，f'(1)，便可求出切線方程；