淺談復數中常見的錯題剖析

■河南省羅山高級中學 王 莉

在解復數試題時，不少同學經常做錯。有些問題往往是由于大家對概念的模糊認識，從而造成一些看起來正確實際上錯誤的做法，致使我們的解題思路偏離實際。

誤區(qū)一：對純虛數的概念把握不準導致錯誤

例1設m∈R，m2+m-2+(m2-1)i是純虛數，其中i是虛數單位，則m=_________。

錯解：因為m∈R，復數m2+m-2+(m2-1)i是純虛數，所以m2+m-2=0。解得m=1或m=-2。

正解：m∈R，復數m2+m-2+(m2-1)i是純虛數的充要條件是：

也即m=-2。

故m=-2時，m2+m-2+(m2-1)i是純虛數。

剖析：(1)若忽視“純虛數的虛部不為0”這一條件，易得出m=1或m=-2的錯誤結論。

(2)復數z=a+bi(a，b∈R)是純虛數的充要條件為二者缺一不可。

誤區(qū)二：對復數的幾何意義理解不深，從而導致錯誤

例2(2016年高考新課標Ⅱ卷理數)已知z=(m+3)+(m-1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是( )。

A.(-3，1) B.(-1，3)

C.[-1，3] D.(-∞，-3)

錯解：要使復數對應的點在第四象限應滿足無解。

正解：要使復數對應的點在第四象限，應滿足：解得-3＜m＜1，故選A。

剖析：沒有理解復數的幾何意義，不知道如何將復數與復平面內的點對應。

誤區(qū)三：對復數的運算不熟悉導致錯誤

例3(2016年高考新課標Ⅲ卷理數)若z=1+2 i，則

A.1 B.-1 C.i D.-i

錯解：選D。

正解：故選C。

剖析：把實數的運算與復數運算混淆。

誤區(qū)四：誤用判別式求解復數方程

例4已知關于x的方程x2+(k+2 i)x+2+ki=0有實數根，求實數k應滿足的條件。

錯解：由于方程有實數根，得Δ=(k+2 i)2-4(2+ki)≥0，解得或k≤

正解：設x=x0是方程的實數根，代入方程并整理得(x20+k x0+2)+(2x0+k)i=0。由復數相等的充要條件，得解得或

剖析：(1)求解本題容易出現如下錯誤：因為方程有實根，所以Δ=(k+2 i)2-4(2+ki)≥0，解得或需注意由于虛數單位的特殊性，不能用判別式判斷復系數一元二次方程有無實數根。

(2)復數范圍內解方程的一般思路是：依題意設出方程的根，代入方程，利用復數相等的充要條件求解。對于一元二次方程，也可以用求根公式求解，要注意在復數范圍內負數能開方的，此外，根與系數的關系也是成立的，注意求方程中參數的取值時，不能利用判別式求解。

誤區(qū)五：復數的“模”與“絕對值”混淆出錯

例5在復數范圍內解不等式|z2-4z+3|＜|z-1|。

錯解：原不等式?|z-3||z-1|＜|z-1|?|z-1|(|z-3|-1)＜0。

因為|z-1|≥0，所以|z-3|＜1。

解得-1＜z-3＜1，即2＜z＜4。

正解：原不等式?|z-3||z-1|＜|z-1|?|z-1|(|z-3|-1)＜0。

因為|z-1|≥0，所以|z-3|＜1，且z≠1。

其解為以點(3，0)為圓心，1為半徑的圓內部。

剖析：錯在把實數中絕對值的性質“|x|＜a?-a＜x＜a(a＞0)”生搬硬套到復數模中來。

總而言之，在做復數這部分的習題時出現的五花八門的錯誤，其根源在于基礎理論知識掌握不牢靠，請同學們在平時多多留心，認真對待每一道題，讓細心成為我們生活的常態(tài)，希望本文對同學們掌握復數這類題型有所幫助。