函數與導數綜合演練（A卷）答案與提示

一、選擇題

1.【答案】D

提示：由于f(x)為奇函數，所以f(-x)=-f(x)，解得a=1。因此，f(x)=x3+x，解得f'(0)=1，故曲線y=f(x)在點(0，0)處的切線方程為y=x，選D。

2.【答案】A

提示：當x＜1時，f'(x)＜0，函數遞減；當x＞1時，f'(x)＞0，函數遞增。當x=1時，函數取得極小值同時也是最小值f(1)，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，故f(0)+f(2)＞2f(1)，選A。

3.【答案】B

提示：函數的導數為f'(x)=3x2+2a x+(a-3)。若f'(x)為偶函數，則a=0，f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3。所以f'(0)=-3。因此，在原點處的切線方程為y=-3x，選B。

4.【答案】D

提示：根據定積分的應用可知，所求面積為，選D。

5.【答案】A

提示：所以在點(4，e2)處的導數為，即切線斜率k=故切線方程為令x=0，得y=-e2。令y=0，得x=2。所圍三角形的面積為，選A。

6.【答案】A

提示：所以曲線在點P(-1，0)處的切線斜率，切線方程為y=x-(-1)=x+1，選A。

7.【答案】B

提示：由定積分的應用知，所求面積為：

8.【答案】C

提示：函數過原點，所以d=0。由圖像知f(-1)=0且f(2)=0，即-1+b-c=0且8+4b+2c=0，解得b=-1，c=-2，所以函數f(x)=x3-x2-2x。因此，f'(x)=3x2-2x-2。由題意知x1，x2是導函數的極值點，所以x1，x2是f'(x)=0的兩個根，所以+=

9.【答案】B

提示：即切線在x=0處的斜率為-l n2。所以切線方程為y-1=-l n2(x-0)，即xl n2+y-1=0，選B。

10.【答案】D

提示：，故選D。

11.【答案】D

提示：由得(x2-，解得t=4或t=-2(舍去)，選D。

12.【答案】C

提示：f'(x)=2a x+b，f'(0)=b＞0，函數f(x)的值域為[0，+∞)，所以a＞0，且，即4a c=b2，c＞0。因此，f(1)所以最小值為2，選C。

13.【答案】C

提示：令函數F(x)=x f(x)，則函數F(x)=x f(x)為偶函數。當x＞0時，F'(x)=f(x)+x f'(x)＞0，此時函數遞增。

14.【答案】C

提示：由題意知，則

15.【答案】D

提示：函數的導數為f'(x)=12x2-2a x-2b，導函數在x=1處有極值，則f'(1)=12-2a-2b=0，即a+b=6。

16.【答案】D

提示：因為，所以f'(x)因此，選D。

17.【答案】B

提示：設F(x)=f(x)-(2x+4)，則F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0。

F'(x)=f'(x)-2，則對任意x∈R，F'(x)=f'(x)-2＞0，即函數F(x)在R上單調遞增。故F(x)＞0的解集為(-1，+∞)，即f(x)＞2x+4的解集為(-1，+∞)，選B。

18.【答案】B

提示：因為函數y=e(a-1)x+4x，所以y'=(a-1)e(a-1)x+4(a＜1)，導函數的零點為因為函數y=e(a-1)x+4x(x∈R)有大于零的極值點，所以

提示：，故兩條曲線在點P(1，1)的斜率分別為，解得a＜-3，選B。

19.【答案】Ak2=a。因為l1⊥l2，所以=-2，選A。

20.【答案】A

提示：利用基本不等式可得f(x)的最小值為2 e，對函數g(x)求導，利用導數研究函數g(x)的單調性，進而可求得g(x)的最大值為e。得到關于k的不等式，解得k≥1。選A。

21.【答案】D

提示：在(0，3)上遞減，在[3，+∞)上遞增。，根據零點存在定理可知，選D。

22.【答案】D

提示：函數的導數為f'(x)=3x2-a，要使函數在[1，+∞)上是單調增函數，則有f'(x)=3x2-a≥0恒成立，即a≤3x2。又3x2≥3，故a≤3，即a的最大值是3，選D。

二、填空題

23.【答案】

提示：

24.【答案】

提示：函數y=x2的導數為y'=2x，即在A處的切線斜率為k=2，所以切線方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1。由y=2x-1，y=x2，解得x=1。所以所求面積為

2

5.【答案】a≥

提示：f'(x)=ex+xex=(1+x)ex，當x＞-1時，f'(x)＞0，函數遞增；當x＜-1時，f'(x)＜0，函數遞減。所以當x=-1時f(x)取得極小值，即最小值f(-1)=-函數g(x)的最大值為a，若?x1，x2∈R使得f(x2)≤g(x1)成立，則g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即

26.【答案】

提示：由得x=1或x=-3。所以曲線y=3-x2和直線y=2x所圍成封閉圖形的面積為

27.【答案】x+y+1=0

提示：函數的導數為f'(x)=2f'(1)+令x=1，則f'(1)=2f'(1)+1，解得f'(1)=-1，即f(x)=2x f'(1)+l nx=-2x+l nx，所以f(1)=-2+l n1=-2。因此，在點M(1，-2)處的切線方程為y-(-2)=-(x-1)，即x+y+1=0。

28.【答案】1

提示：8+2t=10，解得t=1。

29.【答案】m＞n

提示：，則m＞n。

30.【答案】

提示：根據定積分的幾何意義可知等于半徑為1的半圓的面積，即=0，所以

31.【答案】-

32.【答案】(-2，2)

提示：由f(x)=x3-3x+a，得f'(x)=3x2-3。當f'(x)=3x2-3=0，得x=±1。由圖像可知f(x)極大值=f(-1)=2+a，f(x)極小值=f(1)=a-2，要使函數f(x)=x3-3x+a有三個不同的零點，則有f(x)極大值=2+a＞0，f(x)極小值=a-2＜0，即-2＜a＜2。所以實數a的取值范圍是(-2，2)。

33.【答案】①②④

提示：由導數圖像可知，當-1＜x＜0或2＜x＜4時，f'(x)＞0，函數單調遞增；當0＜x＜2或4＜x＜5時，f'(x)＜0，函數單調遞減；當x=0和x=4時，函數取得極大值f(0)=2，f(4)=2；當x=2時，函數取得極小值f(2)。又f(-1)=f(5)=1，所以函數的最大值為2，最小值為1，值域為[1，2]，①正確。②正確。因為在當x=0和x=4時，函數取得極大值f(0)=2，f(4)=2，要使當x∈[-1，t]時，函數f(x)的最大值是2，且2≤t≤5，所以t的最大值為5，③不正確。由f(x)=a知，因為極小值f(2)=1.5，極大值為f(0)=f(4)=2，所以當1＜a＜2時，y=f(x)-a最多有4個零點，所以④正確。

因此，真命題的序號為①②④。

三、解答題

34.

(1)對一切x∈(0，+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，即xl nx-a x≥-x2-2。故a≤l n在x∈(0，+∞)上恒成立。

當x∈(0，1)時F'(x)＜0；當x∈(1，+∞)時，F'(x)＞0。因此，F(x)在x=1處取極小值，也是最小值，即F(x)min=F(1)=3。

所以a≤3。

(2)當a=-1 時，f(x)=xl nx+x，f'(x)=l nx+2。由f'(x)=0，得

因此，f(x)在處取得極小值，也是最小值

由于f(m)＜0，f(m+3)=(m+3)·[l n

(m+3)+1]＞0，因此，f(x)max=f(m+3)=(m+3)[l n(m+3)+1]。

由(2)知a=-1時，f(x)=xl nx+x的最小值是當且僅當時取得。設則G'(x)易知當x=1時，G(x)取得最大值，又從而可知對一切x∈(0，+∞)，都有成立。

35.

(1)由題意知，直線y=x+2的斜率為1，函數f(x)的定義域為(0，+∞)。因為，所以-1。解得a=1，故

由f'(x)＞0，解得x＞2；

由f'(x)＜0，解得0＜x＜2。

所以f(x)的單調增區間是(2，+∞)，單調減區間是(0，2)。

由f'(x)＞0，解得

由f'(x)＜0，解得

所以f(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減。當時，函數f(x)取得最小值因為對于?x∈(0，+∞)都有f(x)＞2(a-1)成立，所以即可。

(3)依題得所以a的取值范圍是則由g'(x)＞0，解得x＞1；由g'(x)＜0，解得0＜x＜1。所以函數g(x)在區間(0，1)為減函數，在區間(1，+∞)為增函數。又因為函數g(x)在區間[e-1，e]上有兩個零點，所以解得所以b的取值范圍是

36.

(1)f(x)的定義域為(0，+∞)。當a=0時，f(x)=l nx+因為0，所以f(x)在[1，e]上是增函數。當x=1時，f(x)取得最小值f(1)=1。所以f(x)在[1，e]上的最小值為1。

拋物線g(x)=2x2-2a x+1開口向上，只需g(2)＞0或即可。

由g(2)＞0，即8-4a+1＞0，得

又因為x＞0，所以

設所以2a小于函數g(x)在區間上的最大值。

所以函數g(x)在區間上遞增，在區間上遞減，函數g(x)在或x=2處取得最大值。

令h(x)=2x2-2a x+1。

①顯然，當a≤0時，在(0，+∞)上h(x)＞0恒成立，f'(x)＞0，此時函數f(x)沒有極值點。

②當a＞0時：

(i)當Δ≤0，即0＜a≤時，易知，當時，在(0，+∞)上h(x)≥0恒成立，這時f'(x)≥0，此時，函數f(x)沒有極值點；

(i i)當Δ＞0時，即時，h(x)＜0，f'(x)＜0；