高慧明老師講數學（2）
——空間向量的妙用（上）

■北京市第十二中學 高慧明

本刊特邀欄目專家簡介：

高慧明首屆全國十佳班主任，北京市高中數學特級教師，國家教育部課程改革“全國先進工作者”，全國著名高考數學命題與考試研究專家，國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓和班主任培訓特邀主講專家，受邀為教育部“國培計劃”做有關高中數學課堂教學、班級管理、教師專業成長等專題報告多場，在全國引起強烈反響。出版個人專著《高考數學命題規律與教學策略》《高中數學思想方法及應用》《讓高中生學會學習》《高慧明班級高效管理藝術》《高慧明數學教學實踐與研究》(叢書)等多部，應邀主編、參編教材和教學著作30余部。

立體幾何是高中數學的重點內容，是體現求解能力和空間想象能力的重要載體。空間向量的引入，給立體幾何問題的解決帶來了全新的解題思路，有效地減少了繁雜的空間想象和幾何推理。借助空間向量解決立體幾何解答題常涉及證明(判斷)線、面位置關系，求解空間角，確定幾何元素(通常為點)的確切位置等問題。

一、利用空間向量證明（判斷）線、面位置關系

例1如圖1，已知在幾何體A B C D E F中，底面A B C D為正方形，A E=2B F=4，A E⊥平面A B C D，A E∥B F。

圖1

(1)證明：F C∥平面A E D。

(2)若二面角E-F C-B的余弦值為，求該幾何體A B C D E F的體積。

分析：根據圖形建立空間直角坐標系，找出直線F C的方向向量和平面A E D的法向量通 過 計 算 求 得，進而可證得結果。

解析：(1)以A為原點分a，-2)。

易知A B⊥平面A E D，可取別為x，y，z軸的正方向，建系如圖2，設A B=a。

圖2

方法一：有C(a，a，為平面A E D的法向量。

方法二：因為A E⊥平面A B C D，A E∥B F，B C∥A D，B C∩B F=B，A E∩A D=A，所以平面B C F∥平面A E D。

又C F?平面B C F，所以C F∥平面A E D。

(2)在(1)的空間直角坐標系中，有B(a，0，0)，C(a，a，0)，F(a，0，2)，E(0，0，4)。

易知A B⊥平面B F C為平面B F C的法向量。

設n=(x，y，z)為平面E F C的法向量，則?n=(2，2，a)。

設二面角E-F C-B的大小為θ，則有

點評：在利用空間向量證明直線l與平面α平行時，可利用直線的方向向量與平面α的法向量垂直，證得結果。在證明線、面位置關系時，向量法與幾何法相比顯得更為直接，特別是在證明較為復雜的線、面位置關系時，向量法的優勢更加明顯。

例2如圖3，四邊形A B C D中，A C⊥B D，C E=2A E=2B E=2D E=2，將四邊形A B C D沿著B D折疊，得到圖4所示的三棱錐A-B C D，其中A B⊥C D。

圖3

圖4

(1)證明：平面A C D⊥平面B A D；

(2)若F為C D的中點，求二面角CA B-F的余弦值。

分析：對于(1)，利用題中條件，合理建立空間直角坐標系，求解平面A C D和平面B A D的法向量，利用兩法向量之積為0，證得平面A C D⊥平面B A D。

解析：(1)(方法一)以E為原點，以的方向為x軸 正 方 向的方向為y軸正方向，建立如圖5所示的空間直角坐標系。

圖5

過A點作平面B C D的垂線，垂足為G，根據對稱性，顯然G點在x軸上，設A G=h。

由題設條件可得下列坐標：E(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，-1，0)，D(0，1，0)，

由于A B⊥C D，所 以解得

則A點坐標為故

設平面A B D的法向量為m=(x1，y1，z1)。

設平面A C D的法向量為n=(x2，y2，z2)。

所以平面A C D⊥平面B A D。

(方法二)因為A E⊥B D且B E=D E=A E，可得△A B D為等腰直角三角形。

則A B⊥A D，又A B⊥C D，且A D、C D?平面A C D，A D∩C D=D，故A B⊥平面A C D。

又A B?平面B A D，所以平面A C D⊥平面B A D。

由于A D⊥A B，A D⊥A C，則為平面A B C的一個法向量。

因為二面角C-A B-F為銳角，則二面角C-A B-F的余弦值為

二、利用空間向量求解空間角

例3如圖6，在三棱柱A B C-A1B1C1中，B A=B C=B B1，∠A B C=90°，B B1⊥平面A B C，點E是A1B與A B1的交點，點D在線段A C上，B1C∥平面A1B D。

圖6

(1)求證：B D⊥A1C；

(2)求直線A1C與平面A1B1D所成的角的正弦值。

分析：(1)連接E D，根據題中條件求得B D⊥A C，再由A A1⊥平面A B C，證得B D⊥平面A A1C1C，根據線與線垂直的判定證得B D⊥A1C。(2)根據三棱柱的特點建立空間直角坐標系，然后確定A1C的方向向量與平面A1B1D的法向量，求出兩個向量的夾角的余弦值，此余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值。

解析：(1)如圖7，連接E D，因為平面A B1C∩平面A1B D=E D，B1C∥平面A1B D，所以B1C∥E D。

圖7

因為E為A B1的中點，所以D為A C的中點，因為A B=B C，所以B D⊥A C。

由A A1⊥平面A B C，B D? 平 面A B C，得A A1⊥B D。

又A A1、A C是平面A A1C1A內的兩條相交直線，得B D⊥平面A A1C1C。

因為A1C?平面A A1C1C，所以B D⊥A1C。

(2)令A B=1，則B C=B B1=1，如圖8，以B為坐標原點，建立空間直角坐標系B-x y z，則A1(1，0，1)，B1(0，0，1)，C(0，1，0)，

圖8

設m=(x，y，z)是平面A1B1D的一個法向量，

令z=1，得m=(0，2，1)。設直線A1C與平面A1B1D所成的角為θ。

點評：利用空間向量求解直線l與平面α所成角時，一定要厘清概念，避免將直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角當作直線l與平面α所成的角。

(未完待續)