逆向思維在初中數學解題教學中的應用

摘 要：數學是一門抽象性、邏輯性非常強的學科，隨著年級的增高，初中數學所涉及的知識面越來越廣。在初中數學練習中經常會遇到一些難以下手的問題，用我們往常的思維習慣往往不能順利解決，這就需要考慮用逆向思維分析、解決。以初中數學為例，淺述逆向思維在初中數學解題中的優勢，并探討逆向思維在初中數學解題教學中的應用。

關鍵詞：逆向思維；初中數學；解題教學

隨著新課程改革的不斷深入，初中數學越來越注重培養學生的思維能力和自主學習能力，然而鑒于數學的抽象性和復雜性，初中數學的習題往往涉及的知識面非常廣，有些習題單純利用常規的思維模式并不能找到解決辦法。這就需要教師將逆向思維傳授給學生，培養學生逆向思維能力，引導學生從不同的角度、不同的方向探尋問題的解決辦法，從而提高學生的思維能力以及解題能力。

一、逆向思維在初中數學解題教學中的優勢

逆向思維的應用，能夠讓學生遇到困難學會從問題的多角度思考，從而提高學生的思維能力；同時，逆向思維的應用，可以解決日常練習無法利用正向思維解決的問題，轉變思維方式，化難為簡、事半功倍，提高解題效率，從而達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果。

二、逆向思維在初中數學解題教學中的應用

1.逆向思維在平方差公式中的應用

平方差公式是我們在日常解題中常用的一種公式，具有靈活多變的性質。學生在解題過程中，往往能夠認識是平方差公式，但是按照往常的做題模式又找不到做題思路，使學生在平方差公式的解題中遇到瓶頸。如果利用逆向思維進行思考，將平方差公式簡化步驟，從而得出最后結果。

例如，習題求12-22+32-42+52-…-20062+20072，如果我們按照原有的做題思路，通常會計算為原式=1-4+9-16+…+4028049那么，這道題的計算量是非常大的，學生不能正確地得出結果。當我們發現題目中是平方差公式，有些同學也曾嘗試利用平方差公式進行計算，從而得出原式=（1+2）（1-2）+（3+4）（3-4）+…+20072=-3-7-11-…20072，這樣一來，計算量仍然是非常大的，并沒有達到預期的計算效果。那么如果我們利用逆向思維模式觀察第二種做法中的第二個步驟，便不難發現每一項中都帶有公因數-1，那么我們將公因數提取后，再將每一項合并，便得出原式=-1（1+2+3+…+2006）+20072，那么到此為止，這道題也變得簡單了。我們在解題的過程中總是習慣于從左到右依次計算，有時候，在習題的演變中，利用逆向思維反而更加容易找到解題辦法。

2.逆向思維在完全平方公式中的應用

在數學練習中，我們還會經常遇到完全平方公式的試題，在計算此類的試題中，我們若按照正常的思維模式進行計算，往往在計算中遇到困難，導致接替無法進行。如果利用完全平方公式的逆用，利用逆向思維思考完全平方公式，往往問題便迎刃而解。

例如，習題a、b是x2+3x+7=0的兩個根，那么求a2+b2的值。在遇到這類的習題時，我們習慣求得方程中的兩個根a、b，從而計算a2+b2，但是在實際計算當中，我們發現a、b的值并不是有理數，解題中存在大量的計算。那么如果我們利用逆向思維將完全平方公式反過來用，（a+b）2=a2+b2+2ab，轉變為a2+b2=（a+b）2-2ab，那么我們利用已知的方程很容易求得a+b和ab的值，a2+b2也就迎刃而解了。

3.逆向思維在證明題中的應用

證明題是初中數學練習中常見的題型之一，但是在實際證明題的解題中，有時候我們根據已知條件或者是可以求得的條件并不能解決相關的問題，證明想要證明的結論。這時候，就需要我們利用逆向思維，進行問題的思考。我們可以從問題的結論入手，從后往前推理，也許會有意想不到的收獲。

例如，證明題，已知兩個三角形的兩條邊和一個角對應相等，那么這兩個三角形是全等三角形嗎？請證明你的結論。這道題主要是考查證明三角形全等的條件，如果我們按照正常的思路考慮邊邊角，那么便證明兩個三角形全等。但是在題目中并沒有明確是兩條邊的夾角。我們利用逆向思維只要證明這個角不是兩條邊的夾角，便很容易得出這兩個三角形不是全等三角形。在類似的習題中，一方面是考查學生對定理的應用，另一方面是學生對題目的審題認真程度。當我們通過正向思維利用角角邊或者邊角邊來證明的時候，很容易將題目做錯，從而影響解題效率。

4.逆向思維在數列計算中的應用

數列計算是學生在解題中常見的一種習題類型，也是一種常見的題型，小到填空、選擇，大到應用，而且數列的變化多端，對學生的基礎知識掌握有非常重要的意義。而此類型的試題往往不能通過常規的思維方式解決，我們必須利用逆向思維進行計算、解題。

例如，題目求1+2+22+23+…+2n的和。面對這類習題，我們顯然不能按照以前的思維方式進行從左到右的計算，那么我們利用逆向思維假設S=1+2+22+23+…+2n，等式兩邊同時乘以相同的數，原等式成立，我們可以得出2S=2+22+23+…+2n+2n+1，那么我們在等式兩邊再同時減去S即減去1+2+22+23+…+2n，便很容易得出結果S=2n+1-1。所以說，當原有的思維定式不能夠解決現有的問題時，要學會利用逆向思維轉變問題的角度，將復雜的問題變得簡單，從而得出問題的正確答案。

逆向思維是學生解題中不可缺少的思維素質，教師需要在日常教學中，注意培養學生的逆向思維能力，鼓勵學生在解題過程中注意變換角度，從另外的角度出發，以此突破學生在解題中的思維定式，解決正向思維無法解決的困難，從而鍛煉學生的思維能力，促進學生的思維發展。

參考文獻：

[1]白北平.逆向思維在初中數學解題教學中的應用[J].中學數學，2018（24）：85-86.

[2]肖迎春.中學生數學逆向思維能力的調查與教學策略研究[D].山東師范大學，2017.

作者簡介：曹斌（1970.10—），男，漢族，大專畢業，中小學一級教師，研究方向：初中數學課教學。

編輯 郭小琴