農村高中數學教學中化歸思想的運用探究

劉曉曦

摘 要：學習數學就是在學習中思考方法，鍛煉邏輯思維。在高中最主要的就是學習數學思想，化歸思想在眾多的數學思想中占有重要地位。化歸思想簡單來說就是轉化，也就是把復雜的難解決的問題轉化為簡單的易入手的問題，來提高解題效率。在高中數學教學過程中，教師應當注重對學生進行化歸思想的培養，加強訓練學生使用化歸思想，使學生能夠掌握并能熟練應用，從而提升數學核心素養。特別在農村高中的數學教學過程中，更要加強對化歸思想的認識及運用。

關鍵詞：高中數學；化歸思想；邏輯思維

初中數學教學主要教學生知識和方法，而高中數學教學則重視培養學生的思維。大量事實證明，高中數學要比初中數學難得多，而農村地區由于各種限制，如教師教學水平、課外資源、經濟能力等，導致農村高中生與城市里的高中生在學習資源選擇中存在較大的差距，他們沒有足夠的學習資源和學習環境，而且高中數學課程知識的綜合性更大，這就要求農村高中教師更要注重對學生數學思想的培養。高中數學中處處體現著數學思想，缺乏一定邏輯思維和數學思想的學生在學習時會感到吃力，如果不能跟上，對難題無從下手，長此以往，挫敗感與無助感就會嚴重挫傷學生的積極性，而一旦偏科，會對學生的整體學習水平產生重大的影響。這在農村高中是普遍存在的。這就要求教師要在無形中培養學生的數學思維，如培養學生的轉化思想，在初中學習中學生可能初步接觸轉化思想，高中時期教師則需要具體講解，通過將難題轉化為簡單問題，運用轉化思想解決實際問題。

一、對化歸思想的認識

化歸思想簡單來說，就是把復雜問題、未知問題通過轉化的方法歸結到簡單的、已知的問題，以便得出結果，化歸思想實際上就是利用已有的知識和數學中的數學相互轉化的關系將問題不斷轉化成容易解決的問題。化歸思想在數學學習中使用十分廣泛，它主要包含四個方面：化繁為簡，在已知條件和待解決問題比較復雜時，就可以把它們化成簡單的條件和要求；化難為易，是指我們在遇到新的難的問題時，把它們轉化為我們熟悉的、比較簡單的問題，進而解決問題；化未知為已知，指仔細閱讀題干，將隱藏的信息提取，把待解決的問題轉化為已知問題；化大為小，指在解決一個綜合性問題時，將大的問題分解，通過解決一個個小問題達到解決最終的大問題。化歸思想最基本的功能就是將抽象問題轉化為具體問題，想要掌握化歸思想就需要善于發現問題間的聯系，把握它們之間的聯系來進行轉化。教師在日常教學中需要注意引導學生將所學知識聯系起來，形成一個知識體系，發現它們的共通之處，運用化歸思想時才能得心應手。根據化歸思想的定義與解釋，可以發現眾多數學學習方法都屬于化歸思想，如等價轉化法、待定系數法、數形結合法、構造法、換元法等。

二、運用化歸思想的原則

1.標準化原則

許多數學知識只有具有標準形式才具有特殊意義，教材中的例題也是具有典型意義的，由此來看，一些數學知識只有是標準的才有特殊性質，如橢圓的基本性質PF1+PF2=2a，具有對稱性等，只有標準的橢圓才具備。所以教師在教學過程中應注意標準化，教導學生在解題時先確定問題是否是標準形式，如果是，才能進行轉化，否之，則應采取其他方法解決問題。

2.熟悉化原則

熟悉化原則是指在解答一個陌生問題時，應先思考其與已學知識的聯系，或從積累的與它相關的習題的做題經驗入手，而不是一頭霧水地盲目嘗試，熟悉化原則是運用化歸思想的基本方法和原則，也是化歸思想的基本內涵。如解一個一元三次方程會比較困難，此時學生聯想曾經學的一元一次方程和一元二次方程就會找到解題思路，通過把一元三次方程轉化為熟悉的一元二次方程就會大大減少解題步驟。

3.和諧化原則

數學練習中經常會出現題目給的條件不統一的情況，如異名三角函數，在教學時教師就可以引導學生先將其轉化為相同的條件，即利用輔助角公式或二倍角公式把異名三角函數轉化為同名三角函數，這就體現了化歸思想中的和諧化原則。

4.具體化原則

由于數學問題中涉及許多立體化、空間化、抽象化問題，此時單靠想象并不容易解決問題，遇到這種題目的條件比較抽象的、條件之間關系模糊的，首先就應該把抽象的問題轉化為具體的、較直觀的問題，其中最具代表性的就是函數問題，這類問題通常畫出該函數的函數圖像，根據它的定義域、值域等性質解答會更直觀、容易得多。

三、常見的化歸方法

化歸方法種類較多，使用比較頻繁的主要有換元法、數形結合法、等價轉化法等。換元法是指在解答數學問題時，把某個式子當作一個整體，用變量表示，使一個復雜的式子變成只含有這個變量的簡單式。運用換元把式子變成有理式或使整式降冪，都能把復雜的函數、方程轉化為較簡單的問題。如：已知f（x-1）=x2-3x+2，求f（x+1）的解析式，采用換元法，使x-1=t，即可得到x=t+1，則f（t）=（t+1）2-3（t+1）+2，把它的原式化成一元二次函數的標準形式就相對簡單一些了。數形結合法也是運用比較多的方法，數與形是數學最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化，使用數形結合法要么根據精確的數來闡明形的性質，要么根據形的直觀性來說明數之間的關系。數學家華羅庚曾說過“數形結合百般好，隔裂分家萬事非”，數形結合“以形助數”或“以數解形”可以使抽象問題具體化。等價轉化法是把原問題轉化為一個易解決的等價命題，通過不斷轉化把復雜的、陌生的、不規范的問題轉化為簡單的、熟悉的、較規范的問題，如：f（x）是R上的奇函數，f（x+2）=f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x，則f（7.5）等于多少，我們在教學時，就可以引導學生發現周期為2，繼而轉化得出f（7.5）=f（-0.5）=-f（0.5）。這些方法一旦掌握，在學習中就能省時省力，經常在教學中滲透轉化思想，也能提高學生的解題能力和水平。

四、如何運用化歸思想

教師在使學生明了化歸思想的使用原則和主要的化歸方法后，就能嘗試著在高中數學基礎知識教學中運用化歸思想了。由于大多數農村高中學生的基礎稍顯薄弱，教師在備課時要充分鉆研教材，要盡量把數學知識中的化歸過程整理出來，這樣才能使絕大多數學生理解知識，才能滿足課堂教學要求。同時也要注意滲透化歸思想時考慮學生的適應程度，學生對知識的掌握不是一蹴而就的，只有經過不斷練習才能融會貫通。

以“函數值域”一課的教學為例，由于函數概念比較抽象，在解答函數值域過程中會比較困難，但根據化歸思想的簡化原則，我們利用幾何圖形的概念來解決就會相對簡單。經過閱讀、分析題目后我們可以得出：點（2cosx，4sinx）在軌跡方程的橢圓上，所以我們可以將它轉化為橢圓上的點（4，-1）連線的斜率來求值域，即可得出：

解：依題意得，（2cosx，4sinx）在軌跡方程的橢圓上，

因為sin2x+cos2x=1，所以題中所求值域就是橢圓上的點和點（4，-1）連線的斜率。

所以可設切線方程為y+1=k（x-4），將其與橢圓聯立，得判別式為0，即4x2+[k（x-4）-1]2=16

（4+k2）x2-8（k2+2k）x+16k2+8k-15=0

Δ=[-8（k2+2k）]2-4（4+k2）（16k2+8k-15）=0

化簡得：12k2+8k-15=0，（2k+3）（6k-5）=0

通過將值域轉化為斜率，然后就可求出取值范圍。這是典型的數形結合問題，初看是函數問題，進行分析后會發現它其實是與橢圓相關的問題，采用數形結合轉化后就能把復雜問題簡單化。學生在課后積極反思，并加以練習，就能逐漸達到舉一反三的效果。

教師在教學時要緊密聯系教材，考題都是從教材知識中衍生出來的，所以打好基礎是根本性保障。所以，在教學過程中教師要深入挖掘知識間的聯系，幫助學生建立全方位的知識體系，如在講解函數、三角函數、圓、橢圓等問題時教師要積極引導學生探索其中蘊含的待定系數法、配方法、換元法等化歸思想。如在講解：

已知2f（-tanx）+f（tanx）=sin2x，求f（x）時，

sin2x=2sinxcosx=2sinxcosx/（sin2x+cos2x）=2tanx/（tanx2+1）

所以令t=tanx，則2f（-t）+f（t）=2t/（t+1），

這是一個關于f（t）的函數方程，我們也可以根據化歸思想的構造法來解決，根據方程特征通過換元構造出一個新的方程，聯立方程得出一個二元方程組，然后消元，解出f（x）。運用這些簡單的化歸思想能夠有效提高學生的解題效率，也能促進學生思維的發展。

五、化歸思想的作用

1.有利于全面掌握數學知識

在數學學習中，化歸思想是運用得比較廣泛的，而化歸思想的熟練運用是建立在對所學知識有比較系統的理解之上的，學生只有熟練地在所學知識中建立聯系，全面了解所學知識，才能靈活使用化歸思想。學生掌握化歸思想的過程就是對所學知識進行意義建構的過程，學生通過在做題中尋找題目的題眼，思考問題與解決問題所需要的知識之間的聯系完成解答。使用化歸思想，把遇到的難題進行歸納，可以幫助學生理解知識之間的內在聯系，幫助他們建立思維導圖、全面掌握數學知識。

2.有利于培養數學思維

高中數學學習目標主要是培養學生的數學思維，而化歸思想則是不可或缺的組成部分，運用化歸思想需要學生清楚方程與函數間的關系，在解答問題時不被定勢思維桎梏，能夠在較短的時間內找出簡化問題的轉化方向。同時在使用化歸思想時需要學生不斷思考、推理，在這個過程中，可以培養學生思維的靈活性、敏捷性。笛卡兒說過：“數學是使人變聰明的一門科學”，數學思想和方法反映了數學知識與規律間的聯系，學習數學思維能夠使學生形成良好的知識結構。

3.有利于培養學生解決習題的能力

學生學習化歸思想，利用已有知識解決新問題的過程是一個溫故而知新的過程，學生在解題時通過轉化已有知識攻克新的難點，利用化歸思想分析題目的結構和內容，把題目轉化為經典的解題模型，最后經過分析和總結，既能鞏固舊知識、學習新知識，也能提高他們解決問題的能力。

綜上所述，在高中數學課堂中滲透化歸思想不僅能為課堂注入新的活力，提高學生的積極性，也能促進學生自主思考、探究問題，培養學生的數學核心素養。對于農村地區的高中學生來說，在課堂中運用化歸思想更能幫助他們回顧、建構、重組知識，幫助他們夯實基礎，提高他們的學習水平。所以農村地區的高中教師要充分創設情境，鼓勵學生觸類旁通，合理利用化歸思想解決問題，提高學生的學習能力，提升自身的教學水平。

參考文獻：

[1]任夏瑜.關于高中數學教學中運用化歸思想的案例分析[J].課程教育研究，2018（15）：100-101.

[2]吳進.化歸思想在高中數學教學中的應用[J].中學數學，2018（1）：75-77.

[3]鐘旗堂.淺析高中數學教學中化歸思想的滲透[J].高中數學教與學，2017（10）：34-35.

編輯 謝尾合