函數單調性的復習教學

范艷娟 尹志亮

單調性是函數最重要的性質之一，且有著豐富的應用內容，是研究函數的其他性質，如有界性、奇偶性、最值問題及不等關系的有力工具，在集合與函數一章的復習中，我們試圖建立以單調性為中心的知識網絡，采用了縱向加深認識，橫向聯系發展能力的做法，取得了較好的效果.

一、力求準確理解感念的本質

準確理解定義是自覺應用概念的前提，函數的單調性可明晰的敘述為：設區間D是函數f（x）的定義域的一個子區間，對x1，x2∈D.

① 由x1

② 由x1f（x2），則f（x）在D上是減函數.

在理解這個定義時，有三點值得我們注意：（1）單調性是與“區間”緊密相連的概念，一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性;（2）單調性是函數在某一個區間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替;（3）由于凡定義都是充要性命題，因此f（x）是增（減）函數，即：f（x1）x2），這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數值之間的不等關系可以“正逆互推”.

在討論函數的單調性時，特別要注意f（x）的同類單調性不一定具有“可加性”，即若f（x）在區間D1，D2上分別是增函數，但f（x）不一定在區間D1∪D2上是增函數，這是學生容易犯錯誤的地方.

例1 討論函數f（x）=x-1x+1的單調性.

分析 函數的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）.利用單調性的定義容易證f（x）在（-∞，-1）上是增函數，在（-1，+∞）上也是增函數.于是有些學生就斷定f（x）在整個定義域內是增函數.這是錯誤的.f（-1）

在具體討論一個函數的單調性時，如何劃分其的單調區間，是學生常常感到困難的.

例2 討論函數f（x）=x+1x的單調性.

分析 很容易得到f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）.先討論f（x）在（0，+∞）上的單調性.注意到x>0都有f（x）=f1x，因此f（x）在（0，+∞）上不是單調函數.但x→1x是區間（0，1]到[1，+∞）上的一一對應，因此我們可分別考慮f（x）在（0，1]和[1，+∞）上的單調性.任取 x10.這說明f（x）在（0，1]上是減函數，在[1，+∞）上是增函數.

又f（x）是奇函數，因此f（x）在（-∞，0）上的單調性與f（x）在（0，+∞）上的單調性相同，于是f（x）在[-1，0）上是減函數，在（-∞，-1]上是增函數.

因f（x）在（-∞，0）上小于零，所以f（x）在區間[-1，0）∪（0，1]上是減函數在（-∞，-1）∪（1，+∞）上是增函數.

二、聯系相關概念擴充認知內涵

關于函數的單調性與奇偶性、周期性一一對應等有如下幾條明顯的結論：

1.偶函數一定是非單調函數.

2.周期函數一定是非單調函數.

3.單調函數一定存在反函數.

4.奇函數在原點兩側具有相同的單調性.

5.偶函數在原點兩側具有相反的單調性.

這些明顯的結論應該告訴學生，并讓他們說明理由.這樣，通過聯系相關概念發展學生的認知內涵，可深化學生對單調性的認知.

例3 已知函數y=f（x）是奇函數，在（0，+∞）內是減函數且f（x）<0.試求F（x）=1f（x）在（-∞，0）內的單調性.

分析 因奇函數在原點兩側有相同的單調性，所以f（x）在（-∞，0）上是減函數.又在（0，+∞）上f（x）<0，因此在（-∞，0）上f（x）>0，這樣F（x）=1f（x）在（-∞，0）上是單調增函數（證略）.

三、把單調性作為一種工具

作為函數思想的一種具體運用，可把單調性作為一種工具運用于解題.

（一）運用單調性解不等式

例4 若0（a2-a-2）x2-6.

解 當a2-a-2>1即a<1-132或a>1+132時，由底數大于1的指數函數是增函數得不等式等價于x>x2-6，解得-2

當03或x<2.

（二）運用單調性求最值

例5 設f（x）=ax+1-xa（其中a>0），記f（x）在0≤x≤1的最小值為g（a），求g（a）的最大值.

解 f（x）=a-1ax+1a是關于x的一次函數.

當a-1a<0即0

當a-1a>0即a>1時，f（x）在[0，1]上是增函數，f（x）的在x=0時取得最小值f（1）=1a.

當a-1a=0即a=1時，f（x）=1是常函數，

故g（a）=1a（a>1），1（a=1），a（0

函數是中學數學教學的重點內容之一，上面關于函數單調性的復習教學，既挖掘了對函數性質的認識，又展現了函數思想的廣泛應用，是培養學生具有良好數學素養的極好素材.