關于無平方因子數的密率問題

華國棟

【摘要】本文給出在自然數集合中滿足無平方因子數的密率的精確公式，證明了這個密率公式與Riemann-ζ函數之間深刻的聯系.

【關鍵詞】無平方因子數;密率;Riemann-ζ函數

【基金項目】本文得到教育部和國家自然科學基金項目的大力支持.

一、引 言

數論作為數學中重要的一個研究方向，在數學中有重要的地位.數論的研究對象是整數，數論的問題表述很容易理解，但是證明卻有相當大的困難.數論屬于純粹的數學，數論的研究領域廣泛，有很多的分支學科，比如，初等數論，代數數論，數的幾何等.數論中對不同的研究分支形成了特定的研究方法與研究的范式，這些方法從數學中的其他分支如分析學，代數學，泛函分析等不同的領域借鑒方法，在整合數論中的各種問題中，形成豐富多彩的數學思想與理論.數論的集大成者高斯曾說：“數學是科學的女皇，數論是數學的皇冠”.這表明數論在數學中的重要地位，數論作為純數學對促進數學本身的理論發展與完善發揮著重要的意義.

整數是數論中最常見的對象，我們一般而言處理對象是正整數集合，我們把正整數集合記作N.數論中組成正整數的基本單元是素數，素數一般用p表示，算術基本定理表述為每一個正整數都可以表示為素數的乘積，在不計次序的情形下是唯一表示的.無平方因子數定義為對任意的素數p，如若滿足對正整數n有p2n，那么n稱之為無平方因子數.我們定義如下的表達式：

Q（x）=#{n≤x：n是無平方因子數}，

那么一個很自然的問題是：對Q（x）而言在正整數集合中的密率為多少，即數學表達式Q（x）x在x→∞時的比值是否存在，如若存在，這個確切的值具體是什么數.我們從直觀上可以這么理解，我們需要在集合N中刪去所有22的倍數，然后刪去所有32倍數，依次類推，需要刪去所有是素數平方的倍數.根據概率的方法，我們可以有如下的猜想：

【參考文獻】

[1]Edwards H M，Riemanns Zeta Function[M].New York：Dover Puldications，2001.

[2]Aubert K E，Bombieri E，Goldfeld D，1-prehistory of the zeta-Function[C]∥symposium in Honor of Atle selberg，July 14-21，1987，Oslo，Norway，1989：1-9.

[3]Bateman P T，Diamond H G，Analytic Number Theory：An Introduction Course[M].Singapore，World Scientific Publishing，2004.

[4]Zhang Y T，Bounded gaps between primes[J].Annals of Mathematics，2014（179）：1121-1174.

[5]Hardy G H，Littlewood J E，Some problems of “Partitio numerorum”;Ⅲ：On the expression of a number as a sum of primes[J].Acta Mathematica，1923（44）：1-70.

[6]Heath-Brown D R，Prime twins and siegel zeros[J].Proceedings of the London Mathematical Society，1983（s3-47）：193-224.