初等變換概述

于莉琦 高恒嵩

【摘要】初等變換是線性代數中最重要的概念，同時也是線性代數中解決問題最重要的方法.本文總結了初等變化在行列式，矩陣和線性方程組中的概念和聯系，并通過實例介紹了初等變換的應用.

【關鍵詞】初等變換;行列式;矩陣;線性方程組

【基金項目】黑龍江省高等教育教學改革項目（SJGY20170311）.

初等變換是線性代數課程中最重要的概念和方法.初等變換具體包括行列式的初等變換，矩陣的初等變換和方程組的初等變換，在不同問題中初等變換的使用既有區別又有聯系.本文將分別從行列式的計算，矩陣問題的研究和線性方程的求解中引入初等變換的概念，認識它們的區別和聯系.最后通過一些具體問題來展示初等變換在實際問題中的廣泛應用.

一、初等變換的概念

（一）行列式的初等變換

定義1：下列操作稱為行列式的初等行變換：

（1）交換行列式的某兩行;

（2）將行列式的某一行所有元素乘一個非零數k;

（3）把行列式的某一行的所有元素同乘一個數k并加到另外一行的對應元素中去.

類似的，可以定義行列式的初等列變換.行變換和列變換統稱為行列式的初等變換.

定理1：n階行列式D≠0，行列式D經初等變換后得到行列式D′，則D′≠0;若行列式等于零，經初等變換后得到的行列式仍然為零.

結合行列式的性質很容易證明該結論，該定理表明行列式的初等變換不改變行列式是否為零的事實.

（二）矩陣的初等變換[2]

定義2：矩陣的初等行變換是指下列三種操作：

（1）交換矩陣的某兩行;

（2）將矩陣的某一行所有元素乘一個非零數k;

（3）把矩陣的某一行的所有元素同乘一個數k并加到另外一行的對應元素中去.

類似的，可以定義矩陣的初等列變換.初等行變換和初等列變換統稱為初等變換.

可以證明，任意矩陣經過初等行變換后都可以變成行階梯矩陣，進而化矩陣為行最簡矩陣.

定理2：若n階矩陣A可逆，則經初等變換后所得到的矩陣亦可逆.

證明：若n階矩陣A可逆，則|A|≠0，由定理1，初等變換不改行列式是否為零的事實，故經過初等變換后的矩陣的行列式不等于零，即可逆的矩陣經過初等變換后仍然可逆.

（三）線性方程組的初等變換

采用消元法解線性方程組實際上就是反復對方程組中的方程做下面三種操作，這三種操作稱為線性方程組的初等變換.

定義3：下列變換稱為方程組的初等變換：

（1）交換兩個方程的位置;

（2）用一個非零的數乘某一個方程;

（3）將一個方程的倍數加到另外一個方程中.

顯然，方程組的初等變換不改變方程組的解.

將線性方程組與方程的增廣矩陣一一對應，上述方程組的初等變換就是對增廣矩陣進行相應的初等行變換，任意線性方程組都可以經過初等行變換得到與之同解的階梯型方程組.這對判斷方程是否有解以及求解線性方程組都是至關重要的.

綜上所述，行列式、矩陣和線性方程組的初等變換都是三種操作，在行列式的計算中初等行變換和列變換的作用是一樣的，矩陣的相應計算中行變換和列變換使用的形式有所不同，線性方程組的求解只能進行初等行變換，以保證變換前后方程組是同解方程組.

二、初等變換的應用舉例

（一）利用初等變換求過渡矩陣

設V為n維線性空間，α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn為V的兩組基，令β1在α1，α2，…，αn下的坐標為T1，β2在α1，α2，…，αn下的坐標為T2，…，βn在α1，α2，…，αn下的坐標為Tn，則稱T=（T1，T2，…，Tn）為從α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過渡矩陣.

利用初等變換解方程的方法，我們可以計算出任意兩組基下的過渡矩陣.

（二）利用初等變換求二次型的標準形

將二次型化為標準形可以通過配方法或正交變換來求得，但是過程很麻煩，注意到可逆矩陣可以表示為初等矩陣的乘積，而初等矩陣的轉置仍為初等矩陣，且

P（i，j）T=P（i，j），P（i（c））T=P（i（c）），P（i，j（c））T=P（j，i（c）），

分析PTAP與A的關系得：

（1）若P=P（i，j），PTAP表示先將A第i，j行互換，然后再將得到矩陣的第i，j列互換;

（2）若P=P（i（c）），PTAP表示先將A第i行乘c，然后再將得到矩陣的第i列乘c;

（3）若P=P（i，j（c）），PTAP表示先將A第i行加上第j行的c倍，然后再將得到矩陣的第i列加上第j列的c倍.

綜合上述分析，將A進行一次初等行變換，將其結果進行一次相應的列變換，如此進行下去，直至將其對角化，即

（A|In）行變換，I變進行相應的列變化，I不變（D|P），

其中D為對角矩陣.

【參考文獻】

[1]張禾瑞，郝炳新.高等代數（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]同濟大學應用數學系.線性代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]許以超.線性代數與矩陣論[M].北京：高等教育出版社，1992.

[4]王曉靜，崔景安，張艷.初等變換法在解線性矩陣方程中的應用[J].高師理科學刊，2017（8）：24-27.