用函數思想解決面積的最值問題

向興河

【摘要】新課標要求學生通過義務教育階段的數學學習，獲得適應社會生活和進一步發展所必需的基本思想，而函數思想是各種數學思想最重要的思想之一，它是解決面積最值問題最主要、最有效的核心思想.

【關鍵詞】自變量;取值范圍;解析式;最值;三角形;四邊形;扇形

《數學新課標（2011版）》要求學生能用適當的函數表示法刻畫實際問題中變量之間的關系，能確定其自變量的取值范圍，求出函數值，能結合對函數關系的分析，對變量的變化情況進行初步討論.求幾何圖形面積的最值問題，正充分考查了學生用函數思想解決實際問題的能力.因為這類問題往往綜合性較強，考查學生能力面較廣，所以考查這類問題成了許多命題者的喜好.

用函數思想解決面積最值問題的步驟可歸納如下：

第一，確定自變量.這一步的關鍵是選定一個恰當的量作為自變量x，它可能是一條線段，也可能是一個角等.在這里，往往還需要用x去表示另一些與x相關的量.

第二，確定解析式.求表示面積的函數表達式時，有的采用直接法，即直接用面積公式求;有的采用間接法，即用面積的和或差求.這兩種方法的選擇，需要根據圖形的特征決定.

第三，確定最值.這主要是在自變量的取值范圍內根據函數的性質求面積的最值.

一、求三角形面積的最值問題

如圖1所示，正方形ABCD的邊長為1，E為AB邊上一動點，且不與A，B重合，連接ED，過B點作BF∥DE交CD于點F，以CF為邊作正方形CFMN，且點N在BC的延長線上，連接EM，DM，求△EDM面積的最小值.

分析 首先選取恰當的自變量.因為E是AB上的動點，所以可設BE為x.再分析△EDM的面積的求法.這時用三角形面積公式直接求顯然不方便，所以選擇間接法.不難發現S△EDM=S梯形EBCD+S梯形CNMD-S梯形BNME.而這些梯形的面積都可以用含x的代數式表示，所以S△EDM關于x的函數關系式就可以求出來，進而根據函數解析式就可以求出S△EDM的最小值.

簡單解析如下：

設BE=x（0

所以S△EDM=12（x+1）×1+12（1+1-x）（1-x）-12（x+1-x）（1+1-x）=12x2-12x+12，

所以當x=12時，S△EDM最小，最小值為38.

二、求四邊形面積的最值問題

如圖2所示，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10.D是△ABC內部或BC邊上的一個動點（不與B，C重合）.以D為頂點作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k>1），EF∥BC.若兩三角形重疊部分的形狀始終是四邊形AGDH.當四邊形AGDH的面積最大時，過A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值.

分析 這個問題的核心是抓住“四邊形AGDH的面積最大”這個條件，從考慮這個四邊形的面積入手.不難發現它是一個矩形，矩形的面積=長×寬，用直接法求面積比較合適.但有長與寬兩個變量，所以關鍵是用其中一個量表示另一個量.不妨設AG=x，且0

三、求扇形面積的最值問題

半徑為2 cm的⊙O與邊長為2 cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，⊙O與l相切于點F，DC在l上.以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形（如圖3所示），至邊BC與OF重合時停止移動，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點，求扇形MON的面積的范圍.

分析 因為本題涉及的面積是扇形面積，所以應從扇形面積的求法入手，于是我們想到扇形的面積公式S扇形=nπr2360.在半徑r一定的情況下，S扇形MON是關于n的一次函數，即S扇形MON=π90n，且S扇形MON隨n的增大而增大.所以只需求出n的取值范圍，而n的大小是由∠MON所對的弦MN的大小確定的.我們知道，當MN∥DC時，MN最小，它等于正方形的邊長2，此時∠MON最小等于60°;當N與F重合或M與F重合時，MN最大，它等于正方形的對角線22，此時∠MON最大等于90°，所以60≤n≤90.然后根據一次函數的性質即可求出扇形面積的取值范圍為23π≤S扇形MON≤π.

【參考文獻】

[1]張煥煥.高中函數與方程思想方法學習現狀與教學滲透策略研究[J].亞太教育，2016（6）：53.