淺談中學(xué)三角函數(shù)試題中的轉(zhuǎn)化與化歸思想

牟曉丹

【摘要】轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)最常用、最重要的思想方法之一，本文主要從有關(guān)三角函數(shù)的問題和幾個(gè)常見函數(shù)模型著手進(jìn)行研究，希望通過對(duì)此問題的研究熟悉轉(zhuǎn)化與化歸的各種變換方法，靈活解決數(shù)學(xué)問題.

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化與化歸思想;三角函數(shù)題;函數(shù)模型

轉(zhuǎn)化與化歸思想是數(shù)學(xué)思想的精髓，也是解決中學(xué)函數(shù)試題最常用的思想方法之一.當(dāng)我們遇到較難解決的數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)該通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法加以解決.運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題，是化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化特殊為一般的過程.

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義

在做數(shù)學(xué)題時(shí)，通常會(huì)遇到一些直接解決比較困難的問題，我們可以通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等一連串的思考過程.把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，挑選適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)手段進(jìn)行相應(yīng)的變換，將原問題逐漸成為一個(gè)自己較為熟知的問題或者某一早已完成的問題，借助這個(gè)新問題進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)原問題得以處理的最終目標(biāo)，這一思想方法就是“轉(zhuǎn)化與化歸思想”.

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本方法

1.典型化法：把一般性問題轉(zhuǎn)化為個(gè)別典型的情況.

2.逐步逼近法：就是“退一步”，“退”到原始而不失去重要性的地方，當(dāng)然，這是以“退”為“進(jìn)”，“退”是為了往前進(jìn).因此，又稱“退步法”.

3.變形法：包括恒等變形和非恒等變形.

4.RMI法：是關(guān)系映射的簡(jiǎn)稱.

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想的原則

1.簡(jiǎn)單化原則：把煩瑣的問題化為容易解決的問題，通過對(duì)容易解決的問題的求解與解決，再進(jìn)行分析、研究、討論、總結(jié)，從而解決煩瑣的問題提供依據(jù)和啟示.

2.熟悉性原則：對(duì)一些較為抽象和一般化的數(shù)學(xué)問題，這類問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到解決問題的目的.

3.和諧統(tǒng)一性原則：轉(zhuǎn)化與化歸問題的已知或結(jié)論，使文字和圖形二者之間的和諧統(tǒng)一貫穿于問題內(nèi)容與過程中，其推演過程符合人們的數(shù)學(xué)思考方式和有利于某種數(shù)學(xué)方法的體現(xiàn).

4.形象化原則：將抽象的問題轉(zhuǎn)化為可以想象的數(shù)學(xué)問題.

5.正難則反原則：當(dāng)從正面思考遇到障礙的時(shí)候，就可以先把思維轉(zhuǎn)化到反面進(jìn)行思考、分析，使問題得以解決.

四、三角函數(shù)題中的轉(zhuǎn)化與化歸

1.第一種模型：化歸成y=Asin（ωx+φ）+k（或y=Acos（ωx+φ）+k）型函數(shù)

一般用其性質(zhì)解決.以y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）為例，（1）定義域?yàn)镽;（2）值域?yàn)閇-A，A];（3）最小正周期為T=2πω;（4）y=Asin（ωx+φ）的圖像為中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，中心坐標(biāo)為kπ-φω，0（k∈Z），對(duì)稱軸方程為x=1ωkπ+π2-φ（k∈Z）;（5）單調(diào)遞增區(qū)間為1ω2kπ-φ-π2，1ω2kπ-φ+π2（k∈Z），單調(diào)遞減區(qū)間為1ωπ2-φ+2kπ，1ω3π2-φ+2kπ（k∈Z）.

2.第二種模型：化歸成y=asin2x+bsinx+c（或y=acos2x+bcosx+c）型函數(shù)

形如y=asin2x+bsinx+c模型或者可轉(zhuǎn)化為這種形式的函數(shù)，一般可利用轉(zhuǎn)化與化歸思想和配方法將這類函數(shù)式轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)的相應(yīng)形式，最后利用二次函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)和求最值的基本方法進(jìn)行求解，使問題得以解決.

3.第三種模型：形如y=asinx+bcsinx+d或y=acosx+bccosx+d的函數(shù)模型

形如y=asinx+bcsinx+d或y=acosx+bccosx+d的函數(shù)，一般是先解出sinx或cosx，再利用|sinx|≤1和|cosx|≤1求y的取值范圍.若原函數(shù)式只有sinx的一次函數(shù)式，可把sinx當(dāng)作未知數(shù)進(jìn)行求解，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)|sinx|≤1，最后求出y的取值范圍.

4.第四種模型：形如y=asinx+bccosx+d或y=acosx+bcsinx+d的函數(shù)模型

觀察此類函數(shù)模型可知，分式中分子和分母含有的一次式cosx或sinx各不相同，不能直接解出cosx或sinx，解決這類題型熟悉掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想至關(guān)重要，通常轉(zhuǎn)化為f（y）=sin（ωx+φ），在利用函數(shù)的有界性求解.

5.第五種模型形如y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c的函數(shù)模型

解下面的例題時(shí)一般設(shè)t=sinx±cosx，則sinxcosx=±t2-12.但應(yīng)該特別注意的是t的取值范圍，利用轉(zhuǎn)換與化歸和換元法結(jié)合，使原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.

五、結(jié) 論

總之，解決各種函數(shù)問題都是運(yùn)用已知條件、定理等，對(duì)函數(shù)問題進(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化與化歸，進(jìn)而加以解決的一個(gè)探究過程.針對(duì)不同類型的問題，引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行細(xì)致的分析，從而培養(yǎng)學(xué)生思考的嚴(yán)謹(jǐn)性.學(xué)生也將不斷歸納提煉各種“轉(zhuǎn)化與化歸”方法，逐漸提升問題處理能力和活躍性.

【參考文獻(xiàn)】

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