淺談有理數兩種定義的等價性及其簡單應用

吳林雋

【摘要】有理數是什么？或許我們馬上會回答：有理數是無限循環小數，有理數是可以用分數形式表示的實數.我們學過的教材對有理數的定義真的是這樣的嗎？有理數有幾種定義，它們之間是否相互等價？筆者分析了一些教材中對有理數的兩種定義，在本文中嘗試并證明了兩種定義的等價性，而且通過一些具體的例子驗證了兩種定義的等價性，希望讀者讀過此文后能對有理數的兩種定義有更深刻的理解.

【關鍵詞】有理數定義;分數;無限循環小數;循環節;唯一表示

一、有理數的兩種定義

何為有理數？或許我們會馬上回答：有理數是無限循環小數.或許我們還會再嚴格一點回答：有理數是整數或有限小數或無限循環小數.我們還有一種常見的回答：有理數是可以用分數形式表示的實數.我們有沒有想過，上面我們所熟悉的有理數的概念是從哪里獲得的，自創的？做習題時在參考書上旁注的？教科書上獲得的？或許我們很難回憶起是從哪里獲得有理數這個概念的了，但沒有關系，我們對有理數的應用是熟悉的，所以不會影響我們下面的討論.

下面我們先看一些教材中有理數的定義.

人民教育出版社出版的《義務教育教科書七年級數學上冊》第12頁對有理數的定義是：“整數和分數統稱為有理數.”[1]我們知道，整數可以看作是分母為1的分數，所以這本初中數學教材對有理數的定義其實是：能夠用分數形式表示的實數叫作有理數.

人民教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書》的數學所有必修、選修系列均未對有理數下定義，只有《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1》第3頁中簡潔地提了一下有理數集的概念：“全體有理數組成的集合稱為有理數集，記作Q.”[2]這里并沒有對有理數下定義.

科學出版社出版的《數學分析（一）》第3頁這樣描述有理數：“有理數集Q中的每個數都可以用既約分數pq表示（其中p∈Z，q∈N+，且p，q互質）.”第177頁說：“有理數可表示為有限小數或無限循環小數，有限小數也可以表示為無限循環小數.”[3]

現在我們先明確教材中有理數的兩種定義.

定義1 能夠用無限循環小數形式表示的實數叫作有理數，如果把整數和有限小數寫成循環節為0的無限循環小數的話.

定義2 能夠用分數形式表示的實數叫作有理數.

二、無限循環小數的本質

現在我們明確了我們以前接觸過的有理數的上面兩種定義.下面我們要討論的是，這兩種定義等價嗎？換言之，無限循環小數是不是一定可以用分數表示，分數是不是一定可以寫成無限循環小數？我們的第一反應可能會覺得這個想法太荒謬了，這不是很顯然嗎？也許，我們再細細想想，兩者的等價性好像不是那么“顯然”.

先看一個問題：0.9999…=1是否成立？可能我們會馬上說：當然成立了，這不很明顯嗎？——如果要我們說明理由呢？好的，我們想出了這個理由：因為0.9999…和1無限接近，所以0.9999…=1.——這個理由得牽強.或許筆者想到了一個更加充分的理由：因為13=0.3333…，所以1=13×3=0.3333…×3=0.9999…——這個理由讓筆者非常滿意，因為它充分地解釋了為何0.9999…=1.

0.9999…=1是否成立的問題已經得到了完美的解決，那么0.573573573…=0.5·73·能否寫成分數形式？如果我們沒有這方面的經驗，或許我們一時想不出來——不如我們先思考一個比較簡單的問題：0.1·怎樣用分數形式表示？不用考慮太久，我們就可以想到0.1·=19，而且驗證后發現確實是成立的.那么0.2·呢？或許我們馬上脫口而出：0.2·=29.

現在我們應該可以猜出0.5·73·怎樣用分數表示了，它應該是：0.5·73·=573999，經過長除法驗證后，它確實是成立的.

我們下面想想如何證明0.5·73·=573999是否成立？我們嘗試把0.5·73·寫成如下形式：

三、有理數兩種定義的等價性

六、表示形式的唯一性

現在我們已經知道有理數的兩種定義是等價的，不過還有兩個問題待解決：任何一個無限循環小數是不是可以用唯一的分數表示？任何一個分數是不是可以用唯一的無限循環小數表示？換言之，任何一個有理數是不是有唯一的分數表示形式？任何一個有理數是不是用唯一的無限循環小數表示形式？

對前一個問題，我們很容易得到下面的結論.任何一個有理數都沒有唯一分數表示形式，比如，0.3·可以寫成13，26，39，…，-1-3，-2-6，-3-9，…這些分數，但是我們可以得到一個結論：任何一個有理數都可以用唯一的既約分數pq表示（其中p∈Z，q∈N+，且p，q互質）.

對后一個問題，由于每一個分數都可以用長除法寫成無限循環小數的形式，我們或許直觀感覺每一個有理數應該可以有唯一的無限循環小數表示形式.其實不然，比如，我們一開始提出的問題：“0.9999…=1是否成立？”告訴我們，有理數1可以表示為1.00000…和0.99999…兩種形式，所以每一個有理數不一定有唯一的無限循環小數形式.

為了使得每一個有理數都有唯一的無限循環小數表示形式，我們可以規定整數和有限小數寫成循環節為0的無限循環小數，如同本文的定義1.不過科學出版社出版的《數學分析（一）》[3]第177頁給出了另一種巧妙的規定：

（1）當x=a0.a1a2…an>0時，其中a0∈N，aj∈N，0≤aj≤9，j=1，2，…，n，an≥1.記x=a0.a1a2…an-1（an-1）999…;

（2）當x=a0為正整數時，記x=（a0-1）.999…;

（3）0=0.000…;

（4）當x<0時，先將-x表示為無限小數，然后在所得的無限小數前加負號.

在這樣的規定下，每個實數都可表示為唯一一種無限小數.

【參考文獻】

[1]人民教育出版社課程教材研究所、中學數學課程教材研究開發中心.義務教育教科書七年級數學上冊[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]人民教育出版社課程教材研究所、中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學必修1[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3]劉名生，馮偉貞，韓彥昌.數學分析（一）[M].北京：科學出版社，2009.