洞察學生思維，追求不同解法

周躍佳

【摘要】數學教學不僅要教給學生已發現的數學知識和方法，更重要的還要教給學生如何進行數學思維活動.針對2017年高考全國Ⅲ卷理科第12題，筆者通過解題教學收集了解學生原始思維，在學生思維障礙點處設問引導，得出不同解法，并提出了幾點思考.

【關鍵詞】洞察思維;解法研究;高考題

一、問題簡介

2017年高考全國Ⅲ卷理科第12題：在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（）.

A.3

B.22

C.5

D.2

該題綜合性較高，涉及直線與圓的位置關系、向量、線性規劃、參數方程等考點.考查學生對中學的基礎知識、基本技能的掌握程度，對數學思想方法和數學本質的理解水平.從不同的思維角度可以得到不同的解法，該題既注重基礎，又關注能力，是學生平時訓練的一個良好素材，高考剛結束，筆者就將本題選為高二部分學生參與的習題課教學的例題，教師對學生的解答做出統計和分類.

二、學生的解答分析

題目下發10分鐘以后，有學生提交了完整的解答，多數學生完成了一半，通過收集統計學生的解決方案，大致分為兩類：

第一類，建立起平面直角坐標系之后，求出了圓C的方程，通過觀察幾何圖形，直觀分析得出了結論：當連接AC并延長交圓C于點P時，取得λ+μ的最大值，一部分學生通過直線AC方程與圓C方程的聯立，算出了此時P點坐標，進而得到λ+μ的值，發現沒有選項，另一部分學生正在計算的過程中.致使這類學生解題失敗的原因在于通過直覺找錯了λ+μ取得最大值時P點的位置.

第二類，建立起了λ+μ與圓C上的動點P的坐標x和y之間的聯系，選擇這個解法失敗的學生，原因在于建立起了變量之間的聯系之后，發現變量是x和y的二元函數，不知如何求出最大值.

三、教學過程

（一）變換視角，“柳暗花明又一村”

教師展示學生解答過程：

解法1 連接AC延長交圓C于點P，如圖建立平面直角坐標系，設A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y），

求得直線AC方程為12x+y=1.①

再根據等面積公式可得圓的半徑是25，

即圓的方程是（x-2）2+y2=45.②

由①②兩式求得P點的坐標145，-25，

又AP=145，-75，AB=（0，-1），AD=（2，0）.

由AP=λAB+μAD得λ=μ=75，

所以此時λ+μ取得最大值145.

教師點評引導：以上解答錯在哪里？為什么上面求出的點P處不是使λ+μ取最大值時的點？那最大值點在哪里呢？

師生共同研討：如圖所示，圓C與BD切于點Q，設AP交BD于點E，過點A作AM⊥BD于點M，過點P作PN⊥BD于點N.

設AP=kAE，AE=mAB+nAD，由于B，D，E三點共線，所以m+n=1，AP=kmAB+knAD，又因為AP=λAB+μAD，所以λ=km，μ=kn，λ+μ=km+kn=k（m+n）=k，即λ+μ=|AP||AE|=|AE|+|PE||AE|=1+|PE||AE|，又由于Rt△AME與Rt△PNE相似，所以|PE||AE|=|PN||AM|=|PN|25=52|PN|，λ+μ=1+52|PN|，記|PN|=d，λ+μ=1+52d，所以問題轉化為求圓C上一點到直線BD的距離的最大值.顯然，P點在QC延長線與圓C交點P′處時，λ+μ取最大值，即dmax=45，所以（λ+μ）max=1+52×45=3.

（二）架一個臺階，“一覽眾山小”

對第二類未完成的解答，教師通過平板電腦發送給每一位學生，并留5分鐘一起持續思考，尋找解決方案.

解法2 學生解答展示：

如圖所示，建立平面直角坐標系，設A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y），根據等面積公式可得圓的半徑是25，即圓的方程是（x-2）2+y2=45，

AP=（x，y-1），AB=（0，-1），AD=（2，0），若滿足AP=λAB+μAD，

即x=2μ，y-1=-λ， μ=x2，λ=1-y，

所以λ+μ=x2-y+1.

困難：含x和y兩個變量，不知道如何求最值？

教師提問引導：λ和μ是隨x和y變化的兩個變量，能否將λ+μ看成一個變量呢？

學生令z=λ+μ，得z=x2-y+1.

思路1 z=x2-y+1，即x2-y+1-z=0，點P（x，y）在圓（x-2）2+y2=45上，所以圓心到直線的距離d≤r，即|2-z|14+1≤25，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3.

思路2 化x2-y+1-z=0為y=12x+1-z，于是1-z為該直線的縱截距，當直線縱截距取得最小值時，z取得最大值，即將直線y=12x向下平移至與圓相切時取得最大值，算得此時的z=3.

教師點評并引導：以上方法是建立起了λ+μ與P點坐標x和y之間的聯系而得到的，λ+μ隨P點坐標x和y的變化而變化，由于λ+μ=f（x，y）是二元函數，不會求最值，從而考慮將λ+μ看成一個變量，利用直線與圓的位置關系或線性規劃的方法解決.

（三）二元變一元，“隨風潛入夜”

教師提問引導：x和y為什么在變化？隨什么量在變化？能否將x和y與某個量建立起聯系，轉化為一元函數呢？（學生思考片刻）

學生回答：圓上的點的坐標x和y隨其旋轉角θ在變化，所以可以將x和y與θ建立起聯系，也就需要先寫出圓的參數方程.（留5分鐘給學生解答）

教師展示學生解答：

解法3 以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，設P（x，y），

則由題意，得x=λ，y=2μ，

圓C的圓心坐標為C（1，2），半徑為25，

所以圓C的參數方程為x=1+25cosθ，y=2+25sinθ （θ為參數），于是λ+μ=x+12y=1+25cosθ+122+25sinθ=2+sin（θ+φ），其中sinφ=25，cosφ=15.

當θ+φ=π2時，sin（θ+φ）=1，λ+μ取得最大值3，此時cosθ=sinφ=25，sinθ=cosφ=15， P95，125.

教師點評：λ+μ隨圓上動點P的坐標x和y變化，而x和y又隨圓的旋轉角θ變化，建立起x和y與θ的關系，就將問題轉化為一元變量問題了.但不同的建系方式，得到圓的參數方程不同，解答過程也就不同，但結果相同，剩下的課堂時間交給學生，按照之前自己建立的平面直角坐標系，繼續解決.

四、解題教學的幾點思考

筆者通過這道高考題的教學，感受頗深，有幾點思考與同行共勉：

1.解題教學需要收集了解學生原始思維，在學生思維障礙點處設問.教師對學生的想法越了解，就越能觸及學生的需求點，給予適當的幫助.所以教師一定要重視學情分析，首先應該給學生足夠的時間去思考，才能獲得準確的信息，然后花一定的時間去分析學生解決問題的情況，針對學生解決的情況設計思維鏈引導糾正并完善解法.

2.解題教學要引導學生多角度思考.洞察學生思維，追求不同的解法.不同的學生會有不同的思考方式，當學生思維達到“憤悱”狀態而得不到及時幫助時，容易被“參考答案”所“同化”而“順應”，失去了思維鍛煉的大好時機，所以教師應該尊重學生的思維，在學生認識水平下，陪伴學生挖掘出不同的解法，培養學生分析問題、解決問題的能力.

3.解題教學中選擇的題目要少而精.既要覆蓋高中階段的重要知識，又要能夠考查學生對數學思想方法的掌握程度.本節課只講了一道高考題，但從不同的角度將數學化歸轉化的思想方法滲透在對數學知識的考查中，解法1通過向量共線的過渡將λ+μ的最大值轉化為圓上一點到直線的距離的最大值;解法2通過將λ+μ看成一個變量z，將問題轉化為線性規劃問題;解法3通過參數方程，將二元問題轉化為一元問題.在知識的運用中將知識得到鞏固，在問題的轉化中實現思維的提升.

【參考文獻】

[1]黎棟材.一堂活動課帶來的驚喜[J].數學通報，2016（2）：51-53.

[2]趙加營，謝桂香.平常問題“非常”思考[J].中學數學教學參考，2016（5）：14-17.