探究不定積分的計(jì)算方法

丁倩倩

【摘要】本文通過(guò)對(duì)不定積分的研究，提出了求幾種計(jì)算不定積分的新方法.在知道一個(gè)函數(shù)的微分或者導(dǎo)數(shù)的情況下，將這個(gè)函數(shù)“復(fù)原”出來(lái)，對(duì)不定積分的教學(xué)有著一定的啟發(fā)作用，通過(guò)不定積分教學(xué)過(guò)程中的研究和學(xué)習(xí)，現(xiàn)總結(jié)幾種不定積分的教學(xué)計(jì)算方法.

【關(guān)鍵詞】不定積分;導(dǎo)數(shù);微分

【基金資助】國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助項(xiàng)目（11761023），貴州省普通高等學(xué)校科技拔尖人才支持計(jì)劃（黔教合KY字[2017]81）.

一、引 言

眾所周知，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)理工專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)有著極其重要的作用，因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)的研究非常重要.而互為逆運(yùn)算的微分學(xué)與積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.不定積分的計(jì)算在理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用十分廣泛，因此，掌握不定積分的計(jì)算方法，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要作用，原函數(shù)與不定積分的關(guān)系和定義告訴我們，在熟練掌握微分公式的情況下，應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注“被積函數(shù)f（x）是由哪個(gè)函數(shù)得來(lái)的”這一基本事實(shí).我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)就告訴學(xué)生：求不定積分的過(guò)程，就是用函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果去尋找原來(lái)的函數(shù).而積分學(xué)的教學(xué)通常是在我們講授微分學(xué)的基礎(chǔ)上繼續(xù)授課，因此，并且通過(guò)微分學(xué)的知識(shí)儲(chǔ)備，我們對(duì)不定積分的計(jì)算方法予以研究，并且通過(guò)對(duì)不定積分的深度研究學(xué)習(xí)，總結(jié)了以下幾種情況下的學(xué)習(xí)心得并舉例說(shuō)明.

二、不定積分的計(jì)算方法

當(dāng)連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)均為初等函數(shù)時(shí)，可用以上四種方法求解.有理函數(shù)的原函數(shù)也是初等函數(shù)，那么在學(xué)習(xí)和授課過(guò)程中，我們是如何求出其不定積分的呢？下面就以例2為例，說(shuō)明有理函數(shù)的積分計(jì)算方法.

（五）有理函數(shù)的積分

解（二） 記I=∫x-1x2-2x+2dx=∫x-1（x-1）2+1dx，令x-1=t，則I=∫tt2+1dt=12ln（1+t2）+C=12ln（x2-2x+2）+C.

由此，可總結(jié)出當(dāng)求有理函數(shù)的原函數(shù)時(shí)，首先，應(yīng)該將假分式化為整式加真分式，其次，對(duì)真分式的分母因式分解，則不定積分即可求出，對(duì)比解（一）和解（二）的解法可以看出，按照有理函數(shù)的求解不定積分的計(jì)算方法十分復(fù)雜，因此，做有理函數(shù)積分的求解時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮方法（一）-（四）.那么求解含有三角函數(shù)的有理式R（sinx，cosx）的積分時(shí)，我們是否可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為有理式來(lái)進(jìn)行積分呢？可用的方法有萬(wàn)能公式法，主要針對(duì)被積函數(shù)含有sin2x，cos2x，sinxcosx這三種形式下的有理式，令tanx=t即可直接轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分，其他情況下，則仍需首先考慮方法（一）-（四）.

（六）可化為有理函數(shù)的積分

例5 ∫sinxcosx1+sin2xdx=12∫d（sin2x）1+sin2x=12ln（1+sin2x）+C.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010（6）.