初中數(shù)學(xué)基本圖形觀念下問題解決的案例分析及教學(xué)建議

易秋燕

【摘要】基本圖形觀念是指學(xué)生能夠利用基本圖形解決問題的意識(shí).本文通過幾個(gè)案例分析說明樹立基本圖形觀念是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑之一，在基本圖形觀念下將復(fù)雜圖形分解成基本圖形以解決問題，在基本圖形觀念下合理添加輔助線構(gòu)造基本圖形探索解題思路.最后給出培養(yǎng)基本圖形觀念的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】基本圖形觀念;案例分析;教學(xué)建議

基本圖形觀念是指學(xué)生能夠利用基本圖形解決問題的意識(shí).關(guān)于基本圖形的界定，不像數(shù)學(xué)概念那樣嚴(yán)格清晰，傅佑珊老師認(rèn)為：“現(xiàn)行中學(xué)平面幾何教材在概念、定理、公理所對(duì)應(yīng)的圖形都稱為基本圖形.”基本圖形來源有兩類，一類是現(xiàn)行中學(xué)教材中的定義、公理、定理以及推論所對(duì)應(yīng)的圖形，另一類是具有一定典型性的例題、習(xí)題所對(duì)應(yīng)的圖形.

一、樹立基本圖形觀念是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑之一

直觀想象是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂專家組提出的普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一.“直觀想象指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.”直觀想象包括：利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題.直觀想象的這部分內(nèi)容實(shí)際上就是初中的幾何直觀.幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出的十大核心概念之一.“幾何直觀主要指的是利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.”幾何直觀是直觀想象的基礎(chǔ)，在初中階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀直接為高中階段養(yǎng)成直觀想象的核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).幾何直觀在問題解決中可以幫助學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解出簡(jiǎn)單的、基本的圖形，從基本圖形中尋找出基本元素及其關(guān)系，由此將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.基本圖形觀念是指學(xué)生能夠利用基本圖形解決問題的意識(shí).由此可見，樹立基本圖形觀念是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑之一.

（一）在基本圖形觀念下將復(fù)雜圖形分解成基本圖形以解決問題

案例1 如圖1所示，BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC.求證：四邊形ABDF是平行四邊形.

案例分析 本題涉及的基本圖形有三線八角基本圖形（如圖2所示）、線段垂直平分線基本圖形（如圖3所示）、平行四邊形的基本圖形（如圖4所示）.在基本圖形觀念下，學(xué)生熟知線段垂直平分線的圖形及其中的基本元素及關(guān)系，因此，由線段垂直平分線的基本圖形易得∠BCD=∠BAD，從而∠BAD=∠ADF，在三線八角基本圖形中由∠BAD=∠ADF得到AB平行于FD，再由題設(shè)條件AF⊥AC和BD垂直于AC，在三線八角基本圖形中得到AF平行于BD，從而證得四邊形ABDF是平行四邊形.

（二）在基本圖形觀念下合理添加輔助線構(gòu)造基本圖形探索解題思路

案例分析 本題涉及的基本圖形有等邊三角形、平行四邊形.學(xué)生在基本圖形觀念下，由問題：“AB+CD>AC”可想到三角形的三邊關(guān)系，由此需要構(gòu)造一個(gè)與AB，CD，AC相關(guān)的三角形.由已知條件“AC=BD，∠DOC=60°”可聯(lián)想到基本圖形“等邊三角形”，通過平移AC（或者BD）可得到等邊三角形BDE，同時(shí)得到一個(gè)平行四邊形ACEB和三角形DCE，如圖7所示，將AB，AC轉(zhuǎn)化到CE，DE，從而利用三角形DCE的三邊關(guān)系得到“AB+CD>AC”.

案例3 （2016年廈門市中考16題）如圖9所示，在矩形ABCD中，AD=3，以頂點(diǎn)D為圓心，1為半徑作⊙D，過邊BC上的一點(diǎn)P作射線PQ與⊙D相切于點(diǎn)Q，且交邊AD于點(diǎn)M，連接AP，若AP+PQ=26，∠APB=∠QPC，則∠QPC的大小約為度分.（參考數(shù)據(jù)：sin11°32′=15，tan36°52′=34）

案例分析 本題涉及的基本圖形有矩形ABCD、最短路徑問題基本圖形（如圖10所示）、圓的切線的基本圖形（如圖11所示），直角三角形（如圖12所示，直角邊為1，26，斜邊為5，以及直角邊為3，4，斜邊為5）.

解法一 在基本圖形觀念下，由已知條件AP+PQ=26及圖形中分解出的最短路徑問題的基本圖形，學(xué)生就能預(yù)測(cè)解題思路，如圖13所示，將最短路徑問題的輔助線添加方法用到本題中來，結(jié)合圓的切線的基本圖形，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，BE，則將AP，PQ轉(zhuǎn)化到同一個(gè)線段EQ上，而由EQ⊥QD可聯(lián)想到直角三角形EDQ，結(jié)合題中所給參考數(shù)據(jù)sin11°32′=15，連接ED，構(gòu)造直角邊為1，26，斜邊為5，由sin11°32′=15可得∠QED=11°32′，由題中所給另一個(gè)參考數(shù)據(jù)tan36°52′=34提示圖中另一個(gè)直角邊長為3，4，斜邊長為5的Rt△EDA，由此可得∠AED=36°52′，得∠AEQ=25°20′，從而∠QPC=64°40′.

在教學(xué)過程中可利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行引導(dǎo)：

解法二 在基本圖形觀念下，由所給參考數(shù)據(jù)sin11°32′=15，tan36°52′=34可聯(lián)想到邊長比例關(guān)系為26∶1∶5以及3∶4∶5的兩個(gè)直角三角形，結(jié)合題目已知條件AP+PQ=26可將AP+PQ轉(zhuǎn)化到同一條直線上，于是可延長QP，截取PE=AP，連接ED得到邊長比例關(guān)系為26∶1∶5的Rt△EDQ和邊長比例關(guān)系為3∶4∶5的Rt△EDA，可得∠QED=11°32′，∠AED=36°52′，得∠AEQ=25°20′，從而∠QPC=64°40′.

在教學(xué)過程中可利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行引導(dǎo)：

二、培養(yǎng)基本圖形觀念的教學(xué)建議

（一）加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“基本圖形”的學(xué)習(xí)

1.加強(qiáng)對(duì)教材中概念、定理、公理所對(duì)應(yīng)的“基本圖形”的學(xué)習(xí).熟識(shí)基本圖形和基本圖形的基本元素及其關(guān)系所對(duì)應(yīng)的文字語言，符號(hào)語言，做到由此及彼.能由基本圖形得到它所對(duì)應(yīng)的基本元素及其關(guān)系的文字語言信息和符號(hào)語言信息，也能由描述基本元素及其關(guān)系的文字語言信息和符號(hào)語言信息聯(lián)想其所對(duì)應(yīng)的基本圖形.

2.總結(jié)教學(xué)中常見的例題，習(xí)題所對(duì)應(yīng)的基本圖形，進(jìn)行歸納和學(xué)習(xí).熟識(shí)基本圖形和基本圖形的相關(guān)結(jié)論所對(duì)應(yīng)的文字語言、符號(hào)語言，做到由此及彼.能由基本圖形得到它相關(guān)結(jié)論的文字語言信息和符號(hào)語言信息，也能由描述相關(guān)結(jié)論的文字語言信息和符號(hào)語言信息聯(lián)想其所對(duì)應(yīng)的基本圖形.

1.在日常教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生利用“基本圖形觀念”在復(fù)雜圖形中分離出基本圖形.

2.在問題解決中，有意識(shí)地讓學(xué)生利用“基本圖形觀念”通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形，尋找解題思路.

【參考文獻(xiàn)】

[1]傅佑珊.平面幾何基本圖形與解題分析[M].北京：地質(zhì)出版社，1985.