一節公開課的設計與思考

阮建 王巍 馬瀟筠

【摘要】本節課為橢圓復習課，一共有三道大題，每個大題有若干個小問題.每個問題都精心設計，由淺入深、由易到難、層層遞進.幾個大題采用變式的形式，考查了圓錐曲線的多種經典題型，復習幾乎全部知識點.學生對變式訓練很感興趣，積極參與，課堂效果非常好.

【關鍵詞】數學;橢圓;公開課

一、已知橢圓方程為x24+y21=1，過右焦點F2作x軸的垂線l.

1.求直線l的方程.

學生首先要判斷焦點所在的位置，并利用a2=b2+c2求出橢圓方程的交點F2的坐標.考查了a，b，c之間的關系，還有焦點坐標公式.當直線和坐標軸垂直時，表達形式非常特別，學生比較容易弄混.通過這個問題，練習了直線方程的特殊形式.

2.求弦長|AB|的值.

直線與坐標軸垂直是非常特殊的一種情況.線段AF2，BF2的長度其實就是點的坐標的絕對值.這一個考點在高考試題中也是經常出現的.

3.求△ABF1的周長.

考查了橢圓的定義，到兩個定點的距離的和為定值的點的軌跡.

4.求△ABF1的面積.

這個時候有兩種方法，一種方法是把|AB|看作底，|F1F2|看作高.考查了焦距|F1F2|=2c.第二種方法是把三角形拆分成兩個小三角形.S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2.小三角形的高就是點A，B的縱坐標的絕對值，即h=|y|.

二、橢圓方程x24+y21=1不變，讓過右焦點F2的直線l的傾斜角變為60°.

1.求直線l的方程.

首先考查了公式k=tanα，以及特殊角的三角函數值.求出直線的斜率為3之后，還要利用直線的點斜式求出答案.y-y0=k（x-x0）是非常重要的一個考點.

2.求弦長|AB|的值.

求弦長的問題是非常重要的題型，要勤加練習，爭取讓大部分學生熟練掌握.把直線和曲線聯立，是多種題型的必經之路，教師要重點強調.

|AB|=（1+k2）·（x1+x2）2-4x1x2.

3.求弦|AB|的中點坐標.

求弦中點的問題也是很經典的題目，也是要把直線和曲線聯立.這一問學生還是能夠快速解決的.韋達定理是經常出現的知識點，需要注意的是：有的學生容易把它和對稱軸以及定點坐標公式混淆.

4.求△ABF1的周長.

這個問題考查學生對橢圓定義的理解程度，教師可以再進行提問：如果傾斜角再次變化，三角形的周長還是4a嗎？無論直線的傾斜角度怎樣變化，△ABF1的周長都是一個定值.l△ABF1=4a.

5.求△ABF1的面積.

學生要能發現把弦長|AB|看作是三角形的底邊，第二小題已經求得弦長|AB|的值，只要再求出點F1到直線AB的距離d，這里考查了點到線的距離公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

三、橢圓方程x24+y21=1不變.讓過右焦點F2的直線l與直線AF1的夾角是α，求S△AF1F2.

（1）α=90°

這種情況非常簡單，學生能獨立完成.

（2）α=60°

焦點三角形的面積問題也是經典題型，首先要利用余弦定理cosα=|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|22|AF1||AF2|.然后采用構造的方法，|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2=（|AF1|+|AF2|）2-|F1F2|2-2|AF1||AF2|.|AF1|+|AF2|=2a，|F1F2|=2c，整理化簡可以得出|AF1||AF2|的值.再利用三角形的面積公式S△AF1F2=12|AF1||AF2|sinα.

（3）α=120°

這一問采用的方法和上一問的方法相同，但是，有一個問題需要注意，120°的余弦值是個負值，這一點，學生很容易出錯，教師要注意強調.