基于數學抽象核心素養的教學設計

葉蓉

【摘要】“數學抽象”是高中數學核心素養的重要內容.高中數學教學，以核心素養為目標和依據著力培養學生的數學抽象能力，需要引導學生積累從具體到抽象的活動經驗，使學生深入理解數學概念、命題、方法和體系，通過抽象概括，把握事物的數學本質，逐漸養成一般性思考問題的習慣，并能在其他學科的學習中主動運用數學抽象的思維方式解決問題.

【關鍵詞】數學抽象;核心素養;教材;目標;情境;探究;設計意圖;反思

《普通高中數學課程標準（征求意見稿）》中明確指出：“數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的.高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六個方面.”其中“數學抽象”是六大核心素養之首，數學抽象一般表現在四個方面：形成數學概念和規則;形成數學命題與模型;形成數學方法與思想;形成數學結構與體系.對普通高中教師來說，如何落實對學生數學抽象素養的形成與發展至關重要，需要教師精心設計教學環節，以核心素養為目標和依據.筆者以形成數學概念為例，選取人教A版高中數學教材必修1第3章第1節第一課時中“方程的根與函數的零點”內容為例，構思基于核心素養視角下的教學設計.

一、背景分析

數學概念的形成過程是最典型的數學抽象過程，在傳統教師的概念課中，一般以講授為主，學生缺乏經歷得到完整概念的抽象過程，導致學生的理解停留在表面，后期需要學生經過大量的練習來達到能力的提高.因此，在概念形成之初，就要求教師能夠綜合運用多種教學方法，通過開展系列問題探究，引導學生主動進行抽象思考，最終概括出數學本質，理解和掌握所要學習的數學概念.

二、教學內容解析

（一）教材地位

本節主要內容是函數零點的概念、函數零點與相應方程根的關系，函數零點存在性定理，是一節概念課.本節課是在學生學習了基本初等函數及其相關性質，具備初步的數形結合能力的基礎之上，利用函數圖像和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而掌握函數在某個區間上存在零點的判定方法，為下節“用二分法求方程的近似解”和后續學習奠定基礎.因此，本節內容具有承上啟下的作用.

（二）教材分析

函數的零點是中學數學的一個重要概念，從函數角度來看，零點是使得函數f（x）等于0時的實數x;從函數圖像的角度來看，是函數f（x）與x軸的交點橫坐標;從方程的角度來看，是對應方程f（x）=0的實根.函數的零點，將數與形，函數與方程有機地聯系起來.作為函數應用的第一節課，學生在了解函數與方程的關系過程中，教材選擇了一元二次方程與二次函數作為切入點，再推廣到一般方程與相應的函數，教師有必要通過問題的設置，從直觀到抽象，從特殊到一般，抽象出所學的零點的概念.

零點存在性定理，就是通過尋找函數的零點來研究方程的根，這個定理不需要證明，在缺少證明的環節下，關鍵在于讓學生結合具體實例，直觀感知體驗，加強對定理的全面認識，抽象概括出定理，并加以利用來解決問題.對定理的條件和結論，根據以往經驗，學生考慮不夠全面，教師通過系列問題，從各種角度重新審視，完成函數零點存在的判定定理的構建.

（三）教學目標

1.知識與技能

（1）了解函數零點的概念：能夠結合具體方程（如一元二次方程）說明方程的根、函數的零點、函數圖像與x軸的交點三者的關系.

（2）理解函數零點存在性定理;了解圖像連續不斷的意義及作用;知道定理只是函數存在零點的一個充分條件;了解函數零點可能不止一個.

（3）能利用函數圖像判斷某些函數的零點個數及所在區間.

2.過程與方法

經歷“構建—反思—完善—總結”數學抽象的過程，感悟由具體到抽象的研究方法，培養歸納概括能力，體會從特殊到一般的轉化的數學思想，體驗函數與方程思想及數形結合思想，在數學抽象的過程中，培養學生的數學核心素養.

3.情感態度與價值觀

在引導學生通過自主探究，發現問題，解決問題的過程中，激發學生學習熱情和求知欲，體現學生的主體地位，鼓勵學生通過觀察、類比，提高發現、分析、反思、解決問題的能力.

三、“數學抽象”核心素養視角下的案例分析

（一）創設情境，感知概念

問題1：解方程：2x-4=0;

問題2：作出函數y=2x-4的圖像;

問題3：令函數y=2x-4的函數值為0，得x=2，方程的根也是x=2，是巧合還是必然？

（二）探究新知（零點的概念）

問題4：求出下列一元二次方程的根，并作出相應的二次函數的圖像.

（1）方程x2-2x-3=0與函數y=x2-2x-3;

（2）方程x2-2x+1=0與函數y=x2-2x+1;

（3）方程x2-2x+3=0與函數y=x2-2x+3.

問題5：對比方程的根與相應的函數與x軸的交點，發現了什么？

（方程的根與函數與x軸的交點的橫坐標是一致的）

這個根既有數的意義，又有形的意義，它還有一個名稱叫作函數的零點.

問題6：對一般的函數y=f（x），如何定義它的零點？

學生回答：（1）方程f（x）=0的根，叫作函數y=f（x）的零點.

（2）函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標，叫作函數的零點.

兩種解答分別從數和形的角度理解了零點的概念，并從中得出零點不是點，而是一個數.

得出結論：

函數零點的定義：對函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫作函數y=f（x）的零點.

設計意圖：教師引導學生推出一元一次方程，一元二次方程的根就是對應的一次函數、二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標，得出一般性的結論.對一般式子分析解釋，對概念形成系統正確的概念.完成從特殊到一般，從具體到抽象的思維過程.

問題7：函數零點的求法有哪些？定義法、圖像法.

教師引導完成等價關系的知識：

方程f（x）=0的根函數y=f（x）的零點函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標

設計意圖：這個過程強化了零點的概念，在強化函數零點的幾種等價關系的過程中，對概念的發生和形成過程再次體驗，完成對整個數學抽象的過程.

（三）例題鞏固

例1 判斷函數f（x）=x2-x-1是否存在零點，如果存在，請求出.

設計意圖：使學生熟悉定義法與圖像法求函數零點，鞏固概念的過程中，有一半學生選擇圖像法（作出二次函數頂點位置和開口方向，得出有兩個零點），一半學生選擇定義法（即求方程f（x）=0的判別式，得出兩個根）.學生在內化過程中自己體驗兩種方法的優劣，以尋求最合適的方法做題.

（四）探究零點存在性定理

問題8：函數f（x）=x2-x-1在區間（1，2）上存在零點嗎？

問題9：函數f（x）=x2-x-1在區間（-1，0）上存在零點嗎？

學生根據例1的解題方法，分為兩個陣營，利用定義法的同學，已經計算出零點，經過估算得出結論;利用圖像法的同學，可以由對稱軸x=12，開口向上，通過計算f（1）<0，f（2）>0，f（-1）>0，f（0）<0可知，函數圖像在這兩個給定區間內均穿過x軸，則在給定區間內必有零點.

問題10：函數f（x）=log2x-12x在區間（1，2）上是否存在零點？

設計意圖：學生從數與形的兩個不同角度給出了判斷，從例1在整個定義域上的零點存在性問題到給定區間的零點存在性問題，給學生提供了兩種方法.在問題10出現之后，產生了一個認知沖突，圖像法與定義法均無法順利解決問題時，是否可以利用上述的結論，如果函數在給定區間穿過x軸，則在給定區間內必有零點，問題轉化為如何判定函數圖像是否穿過x軸.通過分析可知，計算函數在給定區間端點的函數值，如果一個大于0，另一個小于0，那么函數在這個區間上存在零點.

問題11：得出的這個結論都成立嗎？

學生活動，提出質疑與給出反例，教師進行補充.

問題12：請用數學符號和語言來表達以上的結論.

問題13：剛才使用的所有區間都為開區間，這種使用合理嗎？

問題14：何為f（a）·f（b）<0，如何解讀？教師作圖，學生辨析.反思當f（a）·f（b）>0時，就一定沒有零點嗎？

問題15：函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，又該如何解讀？具體有幾個？

問題16：是否可以加上某個條件，得到零點個數是唯一的呢？

設計意圖：一系列的問題，引導學生對定理進一步認識，零點存在性定理僅能用來判定零點是否存在，而不能確定零點個數，定理的逆命題及否命題都不成立，零點存在性定理是零點存在的充分不必要條件.而在進一步探究的過程中發現，如果加上函數單調的前提，將得到函數存在唯一的零點的充要條件.至此，函數零點存在的判定完成了完整的構建.學生經歷了發生、發展、形成、完善的過程，在過程中一步步地抽象出數學概念，將每個關鍵詞進行解讀，提升了數學抽象的能力.

四、課后反思

在數學概念的教學中，遵循學生獨立思考為先，互動交流在后的原則，鼓勵學生自己發現問題，并解決問題，避免直接把概念拋給學生.互動過程中進行構建-反思-完善-總結，用嚴謹的數學符號與語言表達研究的對象，對數學概念進行完整的建構，并且將數學抽象的方法在心里扎根發芽，提升自我的核心素養.

本節課的教學設計基于學生已有的認知水平上，學生對二次函數、一元二次方程等很熟悉，教學設計關注點在于學生數學抽象核心素養的培養，以問題引導學生學習，力圖做好以下兩個方面：

（一）突出重點，突破難點

上述教學過程設計，圍繞著零點的概念及零點存在性定理開展，以問題串的形式來突出重點和突破難點.通過創設情境，學生動手操作，通過解決一個個問題，參與每一個活動，激發興趣，引起思考，最后在活動中獲取新知.

（二）強化概念的理解與運用

在對零點存在性定理完善的過程中，通過具體的圖像，結合形象的語言描述，學生對概念的理解是非常深刻的，不僅對數學抽象有了很強的體會，還培養了學生的邏輯推理和批判性思維品質.

經課堂教學實踐與學生交流討論后，得知學生對本節課掌握情況良好，達到了原定的目標，修改和完善的環節為問題14與問題15的設問方式及解決方法.原設計是由教師給出具體的情況，由學生分析哪些情況是符合要求的，并加以總結.修改為進一步對零點存在性定理做一個反思，學生會得到問題：

1.在零點存在性定理的條件下，得到的零點唯一嗎？

2.定理的逆命題，如果函數在區間（a，b）內有零點，一定有f（a）·f（b）<0嗎？

3.如果f（a）·f（b）>0，函數在區間（a，b）內一定沒有零點嗎？

通過學生的反例，教師加以補充，再以形象化的語言加以描述.反思的過程由學生自我完成，讓成長中的學生主動探索，自主構建，不斷完善與發展，以其獲得更為理想的課堂教學效果.

【參考文獻】

[1]章建躍.樹立課程意識 落實核心素養[J].數學通報，2016（5）：1-4，14.

[2]李霞.核心素養在數學“翻轉課堂”中的落實[J].教育評論，2017（10）：153-155.