結合美國國際數學建模競賽提升文科生學術能力的研究與實踐

陳德強

【摘要】針對文科高等院校學生數學課程教學的實際情況，積極探索將數學建模與教學改革相結合的教學模式，通過改進教學方法和教學模式，不斷提高文科生數學建模的應用能力與學術創新能力，試點并實踐了文科大學本科生參與美國國際數學建模競賽的組織、教學、培訓、參賽等整個流程并取得了階段性的成果.

【關鍵詞】美國國際數學建模競賽;文科院校;教學方法改革

【基金項目】2017年度華東政法大學校級教改項目（A-0316-17-00304），文伯書院《高等數學》通識課項目（A-0312-18-174796）.

一、文科院校大學數學課程的現狀及改革的必要性

一直以來，雖然筆者所在學校作為一個以文科為主的大學，但依然有大量的數學文化基礎課程，這些課程的考核如果僅以試卷上的數學試題作為評價學生的主要依據是片面的，這不利于培養本科生對數學的實際應用以及學術能力還遠遠不夠.這些課程包括各學院開展的“高等數學”“線性代數”“離散數學”“概率統計”“數理邏輯”等課程，很多學生僅僅為了考個高分，通過大量刷題的方式應付數學考試，卻無法將所學的數學知識真正融會貫通，應用于具體的學術研究中.

針對這個問題，美國的韋恩州立大學表示，大學就是要培養大學生在實踐中的定量推理能力和批判性思維能力.不僅僅是培養理工科學生具有這種能力，更要讓藝術、人文、法學和社會科學領域專業的學生在數學學習上獲得同等能力.他們通過鼓勵學生參與對數學模型和數學問題的定量和定性分析提高相關能力.美國的密歇根州立大學也積極鼓勵學生用公式、圖形、表格和圖表的形式解釋數學模型：比如，能夠通過不同的方式（如視覺的、文字的、數字的等）呈現數學信息;可以通過運用概率、代數、幾何和統計方法去解決問題;能夠借助定量數據分析，清晰地表達自己對一個社會科學問題的觀點和認知等.在相關的課程中，鼓勵大學生探索具體環境下的人口爆炸式增長統計（包括嬰兒出生率、家庭收入、教育程度等）、病毒的傳播、醫學檢驗中的貝葉斯模型、經濟中的博弈等.這讓數學不再只是課上簡單的“公式”，而是成為可以在現實世界中真真正正應用的優秀工具.

為了建設中國的雙一流高校和專業，國內的文科院校也不能駐足不前，一直停留在老套的教學大綱里，美國國際大學生數學建模競賽就是一個很好的契機，它給我們更新文科的數學課程的教學大綱提供了一個很好的范例[1].因此，應該加快推進文科院校數學課程的改革，結合國際數學建模競賽，使得學生在充分學習課程的基礎上，參與國際大賽，設計數學模型，應用算法和編程解決實際問題，撰寫學術論文，這個機遇為教學改革提供了一條嶄新的途徑.

二、文科院校大學數學課程提升學生學術能力的措施和方法

大學生運用數學建模解決實際問題的能力提升，不是一朝一夕的事情.這需要把數學建模的意識始終貫穿于數學教學過程之中，也就是要不斷地引導大學生用數學思維的觀點和眼光去觀察、分析和解釋各種對象之間的關系，從復雜紛繁的具體問題出發，逐步抽象出一些課程中介紹的數學模型，進而逐步達到利用數學模型來解決實際的數學問題，使得數學模型的觀念成為文科大學生定量思考問題的第一方法和習慣[2].

（一）以數學基礎課程為平臺，在教學過程中增強學生的數學建模意識

在“高等數學”的教學中，有很多可以和數學建模相結合的知識點展開[3]，在講課的過程中，注意延展學生的思維和拓展舉例的廣泛性.不要拘泥于教材上的幾個例題，可以以課外閱讀或者書寫讀書筆記的形式培養學生數學建模意識.例如，高數課上有一章專門學習微分方程的求解，但是課內所學的一階線性微分方程，伯努利方程可以求解的范圍都十分有限.在課堂拓展中首先介紹如何將一個連續的函數離散化，以便于取點分析.常見的利用Taylor多項式近似離散的方法不但可以得出數值解還便于進行誤差分析.進一步可以介紹歐拉方法求解微分方程并利用泰勒展開式進行2階精度的誤差分析，為提高精度，繼續研究歐拉方法的改進，通過積分的梯形公式進一步縮小誤差，最終得出改進二階法.就這樣一步步引導學生的思路，逐步深入，并演示如何用MATLAB軟件求解微分方程.

（二）分小組進行討論，在解決數學建模問題過程中增強學生的學術寫作水平

文科院校的數學課程的許多知識點和建模大賽等結合緊密，因此，需要選好教學內容，提高學生學習和參與競賽的積極性.我們根據教學情況，選取一些實際問題讓學生討論，既能結合學生自身的文科專業背景提高學生的問題分析能力，又能反映最新的科學技術思想.通過采用啟發式和討論式相結合的教學方法，通過提出一些實際問題，讓學生充分思考、展開討論，甚至讓他們上講臺展示自己的處理方法、見解，既活躍了課堂氣氛，又達到了引導學生學習運用工具分析、解決實際問題的目的.在課程講授過程中，除了正常的作業外，還適當給出一些實際問題讓學生自己建立數學模型，并根據建立模型的基本步驟，要求完成包括建模假設、建模過程、模型求解、模型優缺點及局限性的討論等，最后形成小論文[4].例如，“概率統計”課程有一些內容涉及預測模型，我們引導介紹馬爾可夫鏈通常用來解決排隊理論和統計學中的問題.我們試圖讓學生根據這個模型進行創新性思維，解決一個實際問題：

為適應日益擴大的社會共享經濟發展的需要，大學城的甲、乙、丙三個高校校區成立了一個自行車租賃聯合項目，聯合租賃大學生騎行自行車的業務.大學生可由甲、乙、丙三處任何一處租出自行車，用完后在三處中任意一處進行歸還即可.估計其轉移概率如表1所示.今欲選擇其中之一開設自行車維修點，問該維修點設在哪一個學校校區最好？

經過引導學生計算馬爾可夫鏈模型，得出結論.由于還到甲校區的自行車較多，因此，維修點設在甲校區較好.但由于還到乙校區的自行車與還到甲校區的相差不多，若是乙校區的其他因素更為便利，如交通比甲校區更方便，便于自行車零配件的運輸，電力供應穩定便于充氣等等，亦可考慮設在乙校區.

這就激發了學生學習知識的動力，并且用于解決實際問題，為以后進行畢業設計或者學術論文研究打下堅實的數學模型基礎.

（三）積極開展大學數學實驗第二課堂，將數學建模與實驗有機結合

在實驗實踐中，我們就在創新實驗室安裝相應環境，引導學生通過實驗，開展模型計算和優化活動.

例如，在介紹電腦鼠走迷宮搜索算法模型的時候，一位文科的本科學生在查閱走迷宮算法的基本資料后寫下讀后感：“閱讀完本算法，我發現想要分析這個算法不是很容易.小小的電腦鼠走迷宮需要那么多算法的步驟，首先從電腦鼠方向確立、迷宮坐標以及墻壁的建立，隨后再進行迷宮路徑的搜索.在搜索完畢之后，再對迷宮的地圖做一次最優路徑的選擇并且制作等高圖，最后對電腦鼠整個進行軟件構架.而整個算法中最難、最復雜的是等高圖的制作算法，這張圖是電腦鼠最快走完迷宮的保障，若是等高圖的制作算法有微小的差異，那將會給電腦鼠搜索迷宮最優路徑的選擇造成很大的影響，可謂相當艱難.在了解了本算法之后，深深感覺自己的算法功底還是很薄弱的，在以后的學習中，加強對算法的研究，畢竟算法是所有程序的基礎.程序沒有了算法，就沒有了靈魂”.

三、文科院校建模實踐小組如何組織、篩選、培訓活動及參加比賽

第一階段：人員篩選，圖書和實驗室配備.

初選隊員：來自歷屆參賽老隊員、高數競賽獲獎學生、任課教師推薦的優秀學生，考慮到中途會有參加培訓隊員中途退出或加入，為保證最終參賽隊員質量，初選隊員規模控制在20人左右.通過QQ群召集初選的隊員，對數學建模競賽培訓進行動員，并由參加歷年數學建模競賽獲獎的同學為大家介紹經驗.在確定總的參加人員后，將參賽學生分組，三人一組，根據以往經驗，每組最好一名負責計算機算法的學生，一人負責翻譯和論文排版，另外一人負責數據收集和模型分析，三人選出一個組長.由于培訓的人數較多，紀律方面必須嚴格，管理需有序安排，為此制訂了相關的實驗室守則，并配置好實驗環境.

第二階段：中期培訓指導和優秀論文討論[5].每周講座時間要保證4個學時，然后分組討論一對一指導參見表2.

四、總結以及展望

經過全組教師同學的不懈努力，歷時96小時.筆者所在學校6支代表隊伍、共18名學生參加比賽.筆者所在學校本科生在去年獲獎的基礎上，今年再次獲得1個二等獎，5個三等獎.其中獲得二等獎的同學挑戰了難度較大的E題，建立了一個城市可持續發展和智能評價指標體系模型，并進行了模擬仿真評估，給出了城市未來幾十年內的可行性增長計劃.通過比賽，提升了文科大學本科生運用所學數學知識，結合自己的文科背景特長，解決學科交叉領域前沿實際問題的能力，激勵與提高了學生應用所學的數學模型和計算機算法解決實際問題的科研能力，促進了本科生學術水平和創新能力的提高.我們將不斷總結經驗，為培養更多的高層次的文理兼備的復合型人才而努力.

【參考文獻】

[1]王茂芝，郭科，徐文皙，等.數學建模中的創新意識培養[J].大學數學，2009（1）：126-129.

[2]樂勵華，戴立輝，劉龍章.數學建模教學模式的研究與實踐[J].工科數學，2002（6）：9-12.

[3]張勇，黃廷祝，傅英定.數學建模思想融入微積分課程教學初探[J].大學數學，2010（2）：158-160.

[4]姜啟源.數學實驗與數學建模[J].數學的實踐與認識，2001（5）：613-617.

[5]王茂芝，徐文皙，郭科.數學建模培訓課程體系設計探討[J].數學教育學報，2005（1）：79-81.