DedeKind原理與實數基本定理之間的關系

嚴興杰 樊靜 李帥锜

【摘要】DedeKind分割學說在分析學中占有重要地位，它揭示了實數的完備性.本文考查DedeKind原理與實數基本定理之間的關系，從而加深對數學分析的理解.

【關鍵詞】DedeKind原理;聚點定理;區間套定理;單調有界定理

【基金項目】中國礦業大學教育教學改革與課程建設項目資助（2017YB29）.

一、引 言

德國數學家Richard DedeKind所創立的分割學說是將有理數擴充到實數的一種非常有效的方法[1]，證明了無理數存在以及實數的完備性.很自然地，我們認為DedeKind分割與實數基本定理之間存在著某種聯系.但大部分數學分析書中都沒有給出這種關系或者只有簡單的介紹.在本文中，我們將揭示這種關系，從而加深對數學分析的理解，激發學習興趣.

定義1[2] DedeKind原理：設A，B是實數域R的兩個子集，它們滿足以下三個條件：

（a）不空：A≠且B≠;

（b）不漏：A∪B=R;

（c）不亂：對x∈A，y∈B都成立x

則稱（A|B）為實數域的一個DedeKind分割，A為分割的下類，B為分割的上類.

定理1[3] 設（A，B）是實數域的一個DedeKind分割，則或者下類A中有最大數，或者上類B中有最小數.

上述定理也可等價地表述為：

設（A，B）是實數域的一個DedeKind分割，則存在實數c使x≤c≤y，x∈A，y∈B成立.

實數c稱為分劃（A|B）的分點，且c是唯一的.

二、DedeKind原理證明聚點定理

設S是一個非空有上界的實數集，定義兩個集合A和B分別如下：

B={b R：S，x

即B由所有比S中的數都大的實數組成，A則為B的余集.下證（A，B）是實數域的一個DedeKind分割.

（1）不空：由于S有上界，可設實數M是S的一個上界，令a=M+1，則a大于S中的所有數，從而a∈B，所以B≠.又由于S中的所有數都不在B中，因而，都在A中，說明A≠;

（2）不漏：根據A與B的定義有A∪B=R;

（3）不亂：設x∈A，y∈B，由x∈A可知xB，從而存在z∈S，使x≤z.而由y∈B和z∈S可知必有z

因此，（A，B）是實數域的一個DedeKind分割.

這樣，根據DedeKind原理可知，存在實數c使x≤c≤y.由于x≤c，這表明c是S的一個上界.另外，對任意ε>0，有c-εc-ε成立，這意味著c是S的上界，從而存在聚點.

三、DedeKind原理證明區間套定理

設[an，bn]為一列閉區間套.令{an}全體上界為上類B，令A=R＼＼B，由已知[a1，b1] [a2，b2]…[an-1，bn-1][an，bn]可知a1≤a2≤…≤bn≤…≤b2≤b1，所以有結論：

（1）不空：由于b1∈B，a1∈A，則A，B兩類不空;

（2）不漏：由于A=R＼＼B，則A，B兩類不漏;

（3）不亂：a∈A，b∈B，可知a不是{an}的上界，因此，存在x∈{an}，使a

因此，（A，B）是實數域的一個DedeKind分割.此時我們運用DedeKind原理知，存在唯一的c，a∈A，b∈B，有a

四、總 結

實數的DedeKind構造立論嚴謹、敘述簡明，直觀而又深刻地揭示了實數的完備性，因此，必然與實數基本定理有著密不可分的聯系.本文運用DedeKind原理對聚點定理、區間套定理進行了詳細證明.我們也可運用同樣的想法，證明其他的實數基本定理.本文的結果對加深數學分析內容的理解、激發數學分析的學習興趣有促進作用.

【參考文獻】

[1]王建午.實數的構造理論[M].北京：人民教育出版社，1981.

[2]陳廣榮.現代數學的重要方法集合論淺說[M].內蒙古：內蒙古人民出版社，1979.

[3]崔尚斌.數學分析教程（第一版）[M].北京：科學出版社，2013.

[4]華東師范大學數學系編.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5]單墫.數列與極限[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2017.

[6]常庚哲，史濟懷.數學分析教程[M].北京：高等教育出版社，2003.