線性回歸模型初探

莫文明

【中圖分類號】F224 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）07-0274-02

《普通高中數學課程標準（實驗）》第二部分“課程目標”中明確規定了高中數學課程的總體目標，并將目標分解為三個方面：知識與技能，過程與方法，情感態度與價值觀，明確規定了以“經歷”、“模仿”、“發現”、“探索”為標志的過程性目標.

數學課程改革至今，數學的應用性及其與生活的緊密聯系受到各方面關注與重視，數學模型正慢慢地從大學進入中學課堂.在現實世界中，不少變量之間是存在著一定關系，一般說來，這種關系大體上可以分為兩類，一類是確定性的，即函數關系.例如，線性函數、指數函數、對數函數等.另一類是非確定性的，這類變量之間雖有一定的關系卻又并不完全確定.例如，人的血壓與年齡關系.農作物產量與施肥量有關……這些變量雖有一定聯系，但卻不能用普通函數關系來表達.事實上，這些變量是隨機變量或其中至少有其中一個是隨機變量.這種非確定性的關系稱為相關關系.

回歸分析正是研究相關關系的一種數學工具，是數理統計學中最常用的統計方法之一.在生產實踐、資金預測和科學研究中有著廣泛的應用，具有很強的現實意義.研究方法：教材介紹“最小二乘法”的思想方法，并用“可以推得”的幾個字越過了推導過程，直接給出了

現實教學中，有部分學生對這公式表現得很困惑，迫切的希望知道的求法，再加上此思想方法有是回歸分析方程形成的理論柱石.現給出推導過程，意在推導過程中讓學生加深對公式的記憶和理解.推導過程如下：

用最小二乘法使函數

分別將a，b看成未知數，求導數，令導數為0得

由方程解得：

教材中給出的a，b公式比較復雜，學生不便記憶.在教學中發現， a，b的數值也可以通過下面方程組得到

上面的方程組可以這樣來記憶，設想Y=bX+a 有n個值相加，得到方程組的第一個方程；在直線方程Y=bX+a兩邊同乘X在設想n個數值相加，并得到了方程中第二個方程.

比如，根據以下資料求回歸方程

根據資料計算整理得出下列計算表中數據

將表中數據代入：

也可以這樣解：

得a和b的值

解得：b=36，a=372

雖然我們可以利用信息技術很容易處理相關數據，但為了讓學生體驗知識的形成過程，筆者認為這樣的運算很有好處，也不失為一者好方法.

人教版《數學3》利用回歸分析的方法對兩個具有線性相關關系的變量進行了研究，其步驟是畫出兩個變量的散點圖，求回歸直線方程，并用回歸直接方程進行預報.可見，學習統計，重在應用.有個形象的比喻，統計是以數字為食物的動物（Grass-Cow-Milk）.統計的本業是消化數據，并產生有營養的結果.它的本質和母牛相差不多（Data-Statistics-Information）

至此，我們已經順利的經歷了從現實世界到數學世界的過程，而數學模型所不同于常規習題，再從數學世界返回現實世界的過程需要學生再次體驗.

從數學世界返回現實世界，要求學生，根據具體的現實情景解讀并檢驗數學解答，獲得現實結果，檢驗現實結果的有效性，并反饋給現實情景.

因此審視和檢驗自己的數學模型，變得非常重要，用什么標準來檢驗模型呢？教材給出相關指數R2和殘差分析工具.它們的作用：R2越大-殘差平方和越小-模型的擬合效果越好.反之相反.附：殘差平方和=，

通過中學教材的研讀，筆者認為還有下列問題值得思考.

（1）回歸方程中解釋變量x和預報變量y 的關系，即有數據組x為解釋變量，y為預報變量的線性回歸方程y=bx+a；又應該有y為解釋變量，x為預報變量的線性回歸方程x=b′y+a.

（2）相關系數與回歸方程系數的關系

這比較容易看出系數與b相關系數

的關系

若回歸系數b>0，則兩組數據相關系數，若回歸系數r>0，則回歸系數b<0，則兩組數據相關系數，則回歸系數r<0；兩組數據的相關系數之間滿足bb′=r2

（3）相關系數與回歸方程系數功能差異思考.

相關系數具有對稱性質，即相關系數與x，y兩者中哪一方為預報變量無關，而回歸方程與x，y兩者中哪一方是解釋變量有關.

基于上面的思考，結合高等數學數理統計的相關知識，由淺入深地將數學建模帶進中學課堂，溝通學生的現實世界與數學世界。掌握方法，勤于思考，從多角度發現回歸分析對現實生活的統計意義.

國外有“現實數學”“real mathematics”）一派，主張數學教學必須結合學生的生活現實，這有其積極的一面。在教學過程中讓學生經歷數學發生（發現）、發展歷程，體驗數學工作者發現和探究問題的歷程，學會“數學化”地思考問題，優化學生的思維品質，提高學生的數學修養.

參考文獻

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