就題變題

林顏

【摘 要】探析利用導數判斷函數的單調性的方法，對解決壓軸題具有積極的作用，利用變式教學，激發學生的探索欲，由此促進學生發揮其主體意識，能夠提升其分析、歸納、總結能力。本文通過就題變題，就地取材，探索高三一輪復習中變化教學的實踐路程，為高考打下堅實的基礎。

【關鍵詞】就題變題；單調性；根的存在與分布

高考恢復全國卷以來，如何圍繞全國卷組織應對策略，提升教學質量，一直是近幾年探討的熱點。函數與導數大題作為壓軸題，每年必考，題型難度較大，設問靈活，大多數考生做到此題，時間緊，在短時間內要想把該題做好，需要在平時形成更加系統的方法，提升更加靈活的思維，加強分析能力，方能夠應對。觀察2016年到2018年三年文科高考，函數與導數大題圍繞零點問題和不等式問題考查，無論怎么考，討論單調性永遠是考查的重點，而且僅僅圍繞分類整合思想的考查。但是如何有序的分類，又成為教師教學和學生學習的重點和難點。

變式訓練作為教學中的一種常用手段，常常用于培養學生思維的流暢性和靈活性，在函數與導數大題的教學中，引進變式教學，對于概念的辨析，明確本質問題，提煉一般方法具有極大的促進作用。本文中，筆者總結近幾年文科高考經驗，通過一輪復習中一道例題的教學，就題變題，適當改變參數系數等，按層次遞進，實踐和探析導數教學中單調性的討論方法，幫助學生突破難點。

1.例題引入，呈現問題

例題：已知函數f（x）=inx-ax（a∈R）。（1）求函數f（x）的單調區間；（2）當a>0時，求函數f（x）在[1，2]上的最小值。

本文僅分析第一小問：

解：（1）f'（x）= -a= （x>0）

①當a≤0時，f'（x）= -a>0，即函數f（x）的單調區間為（0，+∞）；

②當a>0時，令f'（x）= =0可得x= ，當00；當x> 時，f'（x）= <0

故函數f（x）的單調增區間為（0， ]，單調減區間為[ ，+∞）。

（2）略

對于上面第一小問的解答，如何想到參數a分成a≤0和a>0討論呢？討論的原理在哪里呢？題型變化后又該怎么分類呢？對于上述疑問，筆者在教學中將該例題進行變式，通過改變參數等，從最基礎的問題開始引入，由易到難逐步突破。

2.引入基礎，明確本質

變1：已知函數f（x）=inx-x，求函數f（x）的單調區間。

分析：本題變化中令參數a=1，這樣不涉及參數，明確討論單調性的原理：求導f'（x）= （x>0），通過導數值的符號判斷單調性，觀察可知，導數的符號實際是由分子y=1-x決定的，根據零點存在定理，函數y=1-x零點左右符號不同，從而以零點作為分段點，將定義域分成若干個單調區間。

解：f'（x）= -1= （x>0），令f'（x）>0得01。

故函數f（x）的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞）。

通過變1，對比例題不難發現，例題中參數a分成a≤0和a>0的討論，令f'（x）=0，最終由求導過程中方程1-ax=0根的存在與分布問題引發的，若a=0，方程無解，f'（x）>0，若a<0，方程的根x= 不在定義域內，若a>0，方程的根x= 在定義域內，從而可以讓學生明白討論的原理，明確更深層次的本次問題，進一步激發學生的探索欲。

3.領悟歸納，延伸概括

變2：已知函數f（x）=inx-ax （a∈R），求函數f（x）的單調區間。

分析：求導后f'（x）= （x>0）可以發現，導數值的符號由1-ax 決定，由此可以發現，本題的討論可以從方程1-ax =0在（0，+∞）上的根的存在與分布展開。

解：f'（x）= >0

①當a≤0時，f'（x）= >0，即函數f（x）的單調區間為（0，+∞）；

②當a>0時，令f'（x）= =0可得x= 或x=- （舍），當00；當x> 時，f'（x）= <0

故函數f（x）的單調增區間為（0， ]，單調減區間為[ ，+∞）。

變3：已知函數f（x）=1nx-ax +（2-a）x（a∈R），求函數f（x）的單調區間。

分析：求導后f'（x）=- （x>0）可以發現，導數值的符號由2ax -（2-a）x-1=（2x+1）（ax-1）決定，由此可以發現，本題的討論可以從方程（2x+1）（ax-1）=0在（0，+∞）上的根的存在與分布展開，即其中一根x=- 不在定義域內，另一根x= 是否存在，若存在，是否在定義域內，由此可以分成a≤0和a>0討論。

解：（1）f'（x）=- =- （x>0），

①當a≤0時，f'（x）>0，即函數f（x）的單調區間為（0，+∞）；

②當a>0時，令f'（x）=0可得x= ，當00；當x> 時，f'（x）<0，故函數f（x）的單調增區間為（0， ]，單調減區間為[ ，+∞）。

從上面兩個變式中，僅適當改變了部分參數和形式，設計意圖是以變1為基礎，明確討論的原理，提出問題，總結方法：單調性的討論，可以歸結為導數中影響符號的式子對應的方程的根的分布問題，從而轉化為更基礎的問題，即根的存在與分布問題。我們可以把該方法歸結為：①方程f'（x）=0是否有根；②若f'（x）=0有根，求出根后是否在定義域內；③若根在定義域內且有兩個，比較兩根的大小。

4.提煉方法，對接高考

通過3次變式，總結本節課內容，聯系近幾年全國1卷文科導數壓軸題，引導學生觀察思考，不難發現，上述總結的方法可以幫助我們輕松解決壓軸題的討論問題：

（2016年文科全國Ⅰ卷22第一問）已知函數f（x）=（x-2）e +a（x-1） .討論f（x）的單調性。求導得f'（x）=（x-1）（e +2a）（x∈R），由此可知導數符號由類似一元二次型結構（x-1）（e +2a）決定，令f'（x）=0，當a≥0時，方程e +2a=0無解，當a<0時，方程e +2a=0有一根x=1n（-2a），此時又需與另一根x=1比較大小，故最后可以分a≥0，-

（2017年文科全國卷Ⅰ22第一問）已知函數f（x）=e （e -a）-a x討論f（x）的單調性.求導得f'（x）=（2e +a）（e -a），進而轉化為一元二次型問題，令f'（x）=0，考慮e >0，2e +a=0與e -a=0解的情況恰好相反，故可以分a>0、a<0、a=0討論。

上述兩題中具體解答可參考這兩年全國卷解答，這里不再贅述。

5.反思教學，提升素養

在一輪復習中，換位思考，從學生的角度出發，通過一類問題的質疑，反復琢磨知識的形成，在課堂引導學生思考，可以提高學生解決問題的興趣，體現數學思維對解題的引領，做到舉一反三，不斷創新，共同進步。

數學的魅力在于變化與突破，教師對數學的教學不應局限于課本，而是通過日常不斷的積累與思考，從學生的個人發展規律與知識水平入手，不斷調整和改變教學方式，就地取材，就題變題，隨時創造有利于教學的環境，使得教學源于課本又高于課本。對變式教學的辯證思考，有利于學生分析能力的形成，有利于促進核心素養的培養，在教學中值得學習和推廣。

【參考文獻】

[1]范志敏.利用導數解決函數的單調性問題[J].中學教學參考，2012（35）：28

[2]羅增儒.高考數學壓軸題的認識研究[J].中學數學教學參考（上旬），2018（4）：36-37

[3]潘龍生.“變式”教學要變出“思想性”[J].中學數學教學參考，2018（25）：40-41