對排序不等式的教學理解

蔡佳寶 李 波 徐章韜

(華中師范大學數學與統計學學院 430079)

1 引言

排序不等式以其優美的對稱結構著稱，同柯西不等式一樣是中學數學中的“重要而基本”的不等式.所謂“重要”，是指具有重大影響的，很有意義的.所謂“基本”，即根本，事物的本源.排序不等式的“重要”性不僅僅體現在它的應用方面，即由它可以推導出很多著名的不等式如：算術幾何平均不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式等，還體現在它是函數單調性證明的基礎，是序結構的一種反映.序結構是布爾巴基學派運用結構觀對數學進行分類時得到的一個母結構，它與代數結構、拓撲結構一起構成最普通、最基本的數學結構.從這個意義上來說，排序不等式又應是“基本的”.在進行排序不等式教學時，對教材的深入解讀是必不可少的，若僅從證明的角度去理解排序不等式顯然是不夠的，作為數學教育工作者應該看到知識間的互通性與連貫性.下文從函數的單調性、向量、阿貝爾變換公式、微微對偶不等式等角度重新對排序不等式進行認識.

2 教學理解

2.1 看證明“基礎”

設a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,k1,…,kn是{1,…,n}的任一排列，則

在用初等方法進行排序不等式證明之前，不妨先看例1的證明.

例1若a1≤a2,b1≤b2，則a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.

通過作差法顯然有a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)≥0成立.以此為基礎，利用逐步調整法進行和排序不等式與積排序不等式的證明，實際上就是反復利用例1的證明過程.例1的證明過程是用逐步調整法證明排序不等式的一個“基礎”.

(1)和排序不等式的證明

即為順序和；當kj≠j時，存在某個aj0≠aj與bj搭配，現在調換bkj與bj的位置，于是原式Sn中的ajbkj+aj0bj通過調整變成了ajbj+aj0bkj，其余n-2項不變，兩式相減，令

T=ajbj+aj0bkj-ajbkj-aj0bj

=(aj-aj0)(bj-bkj)，

(2)積排序不等式的證明

通過上述證明過程，不難發現，對于任意的x1≤x2,y1≤y2,始終有x1y1+x2y2≥x1y2+x2y1成立，此式即為排序不等式的“原型”.特別地，它是和排序不等式取n=2時的情形，當x1=y1,x2=y2時，我們還可以得到基本不等式，和排序不等式是在上式基礎上得到的推廣.事實上，對于任意給定的兩個遞增數列{an},{bn}，Sn,Pn的最值是確定的.只需通過有限次的逐步調整來找到最值即可.逐步調整法實質上是一種算法.這種證明方法從直觀上“看不到”完整的證明過程，它依賴于學生的思維活動，是學生在頭腦中完成的.由此可見，在教學中使用逐步調整法進行排序不等式的證明有助于學生計算思維和邏輯推理能力的培養.

2.2 看等號成立條件

要證明和排序不等式成立，實際上就是證明下式成立

不妨先看n=2時的情形，

|OB|=|OB′|，cos∠AOB>cos∠AOB′，

從向量的角度來看排序不等式，便于從幾何直觀上去理解排序不等式等號成立的條件.這種處理法類似于從向量的角度處理柯西不等式等號成立的條件.

2.3 從阿貝爾變換看

阿貝爾變換是指對一組乘積的變換.

則

=anSn-anSn-1+an-1Sn-1+…+a2S2-a2S1+a1S1

如果還嫌這個表達式難以記憶，畫三個并在一起的長方形，長分別為a1,a2,a3，寬分別為b1,b2,b3，把面積算兩次，自然得這個表達式.

現用阿貝爾變換證明正序和，亂序和，和反序和之間的關系.

不妨設ai≥ai+1,bi≥bi+1，

則有Sn=Tn=Rn,Si≥Ti≥Ri，

下面是利用阿貝爾變換證明排序不等式的另外一種方法[1].

即Si≥Ti.

因此，對所有i=1,2,…,n,

用高等數學方法證明排序不等式更簡潔、明了.第一種證明方法是直接對不等式進行阿貝爾變換，而第二種證明方法則是先對所證不等式進行作差后再進行阿貝爾變換，究其實質都是在利用阿貝爾變換和單調性進行排序不等式的證明，這種方法相比起初等數學方法更直觀、具體、能“看得到”證明過程.

2.4 看單調性

函數f(x)在區間D上是增函數，對于?x10(*).整理(*)式得：x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)(**).顯然，(**)式可以看成是一個排序不等式，其中x1

單調性是函數的一種重要意義，用單調性證不等式是一種十分有效的技法.其根本原因在于用單調性證不等式，其實是在運用排序不等式，而排序不等式是序結構的反映，故單調性很基本，也很有用.

2.5 看生長性

以三元排序不等式為例.把它們兩兩的乘積寫成一個矩陣的樣子,

很顯然，主對角線上的元素之和是正序之和，副對角線上的元素之和就是反序之和.類似于三階行列式的乘法，其它與主對角線、副對角線平行的位置上的元素之和就是亂序和.注意到矩陣中的所有元素之和為(a1+a2+a3)(b1+b2+b3).

一般地，可以列出不等關系

把這些式子相加，自然地就得到了切比雪夫不等式.

現在用排序不等式證柯西不等式.

由此得到矩陣的列積和為(a2+b2)(c2+d2),

由此得到矩陣的列積和為(ac+bd)2，

由微微對偶不等式，自然得到柯西不等式.

柯西不等式特殊化之后也能得到教材中的基本不等式.

3 總結

現代數學學習理論認為數學有意義學習的實質是學習者能夠將新知與認知結構中已有的適當知識建立非人為的實質性的聯系.這意味著新知識在學習者的認知結構中有生長點或固著點，倘若教師在進行新知教學時能夠幫助學生在原有的認知結構中找到新知的固著點，這無疑是有意義教學的前提.這也是奧蘇泊爾所提倡的先行組織者策略.單調性是學生在學習函數時接觸到的，因此單調性對于學生來說是十分熟悉的，用單調性證明不等式實質上是在運用排序不等式，倘若以此作為學生學習排序不等式的生長點，那么學生對于排序不等式的學習就不會感到陌生.這樣可以幫助學生建立起單調性與排序不等式之間的聯系，理解序才是單調性的基本，從而更深層次地理解單調性的意義.進一步地，教師可以引導學生思考三維排序不等式的情形，最后再考慮更為一般的情形，逐層遞進，步步深入，引導學生進行思考，這種從特殊到一般逐漸抽象的思維過程有利于提高學生的抽象思維能力.這和柯西不等式的教學思路是一致的.

習得直觀圖景是數學教育的目標之一.本案例讓學生看到，在維數上，排序不等式和柯西不等式一樣，有二維、三維，乃至多維的情形，可以仿照柯西不等式來學習；在實質上，排序不等式反映了函數單調性，并把其推向了一般，是函數單調性的進一步抽象；在證明基礎上，排序不等式的證明基礎是阿貝爾變換，這其實是一種面積法.在知識生長上，微微對偶不等式是排序不等式矩陣形式的進一步推廣.數學的眼光是抽象，但這種眼光的高境界是一種直觀、一種直覺，一種不用“眼睛”的“眼睛”.

當數學從科學形態轉變成教育形態時，便形成了數學教育.數學教學具有很強的專業性，它體現在兩個方面，一個是“數學”方面，一個是“教學”方面.沒有一定的數學修養的教師是不可能教好數學的，同樣，有數學修養但沒有一定的教育教學理論的教師也是教不好數學的.這就要求教師深入鉆研和分析課程標準、教材、教學輔助資料以及相關數學史的研究等，理解和掌握教學內容.另一方面，數學教育究其根本是要育人，這就必然要求數學教育工作者具備一定的教育教學理論.數學本就以“抽象”著稱，若教師不了解學生的學習心理，就容易給學生造成數學太抽象、不好學之感.因此教師需要用“兩條腿走路”，既要不斷提高自身的數學修養，又要不斷提高自己的教育教學理論水平.這兩方面能力的提高是相輔相成的.教師自身數學修養的提高，有助于教師對知識本質的理解，才知道“教什么”，而教育教學理論水平的提高有助于教師了解并理解學生，才知道“怎么教”.這就要求教師從不同視角，多角度去把握所授內容.不僅要看到初等數學與初等數學之間的聯系，更要看到高等數學與初等數學之間的關聯.從初等數學的角度去看初等數學，有助于教師找到知識之間的聯結以及學生的認知起點.從高等數學的角度去看初等數學，有助于教師加深對知識本質的理解，掌握知識的“來龍去脈”，建立知識團，進一步理解所授知識的教育意義和價值.