圓錐曲線中相交圓的一個定點命題

李偉健

(安徽省滁州中學 239000)

近年，高考對“過圓錐曲線的焦點且互相垂直的兩條弦”的性質進行了考察(2016年普通高等學校招生全國統一考試理科數學(乙)卷第20題).事實上，中學數學教師對過圓錐曲線的焦點且互相垂直的兩條弦的性質早就給予了充分關注.林新建老師在文[1]指出以過圓錐曲線的焦點且互相垂直的兩條弦為直徑的圓的公共弦的中點軌跡是一個圓.葉良志、盧瓊兩位老師在文[2]進一步探索，得出如下命題：

命題1以過圓錐曲線的焦點且互相垂直的兩條弦為直徑的圓，公共弦所在直線經過定點.

尹惠民老師在文[3]中繼續對這一結論進行了探索，發現將“過圓錐曲線的焦點”替換為“圓錐曲線內部的一個定點”，結論仍然成立.實際上，通過觀察尹惠民老師的計算過程，可以發現，尹惠民老師在文[3]中實際上證明的是：

命題2以過平面內一定點的兩條互相垂直的動直線與圓錐曲線的相交弦為直徑的圓，公共弦所在直線經過定點.

本文對這一定點命題進行探究，發現文[3]中，兩條弦所在直線垂直這一條件是多余的，即：

命題3以過平面內一定點的兩條動直線與圓錐曲線的相交弦為直徑的圓，公共弦所在直線經過定點.

下面分橢圓、雙曲線和拋物線三種情形，對這一命題進行詳細論證，并且在論證的過程中發現了兩個有趣的推論，首先給出橢圓情形的證明.

圖1

證明設P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線l，l′的斜率存在時，設直線l，l′的斜率分別為k，k′，那么直線l的方程為y=k(x-x0)+y0，l′的方程為y=k′(x-x0)+y0，

聯立直線l和橢圓Γ的方程

消去y，得到

(b2+a2k2)x2+2a2(y0-kx0)kx+a2(y0-kx0)2-a2b2=0，

那么y1+y2=k(x1+x2-2x0)+2y0

y1y2=k2x1x2+k(y0-kx0)(x1+x2)+(y0-kx0)2

以AB為直徑的圓的方程為

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，

整理可得

同理，以CD為直徑的圓的方程為

G(x，y)=a2y0x+b2x0y-a2x0y0-b2x0y0，

兩個圓的方程相減，整理可得兩圓公共弦所在直線m方程為：

(b2F(x)-a2H(y))(k+k′)+2G(x，y)(b2-a2kk′)=0，

可以檢驗出方程有解，那么直線m經過以該方程的解為坐標的定點.

可以檢驗出當直線l或者直線l′的斜率不存在時，直線m仍然經過以方程

考慮到命題2和命題1證明相似，因此略去這一情形的論證.下面給出拋物線情形的證明.

圖2

命題3.3過點P作兩條動直線l，l′分別交拋物線Γ：y2=2px(p>0)于點A、B，C、D.那么以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓公共弦所在直線m經過定點.

證明設P(x0，

y0)，A(x1，y1)，

B(x2，y2)，當直線l，l′的斜率存在時，設直線l，l′的斜率分別為k，k′，那么直線l的方程為y=k(x-x0)+y0，

l′的方程為y=k′(x-x0)+y0，

聯立直線l和拋物線Γ的方程

消去y，得到

k2x2+2(ky0-k2x0-p)x+(y0-kx0)2=0，

y1y2=k2x1x2+k(y0-kx0)(x1+x2)+(y0-kx0)2

以AB為直徑的圓的方程為

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，

整理可得

同理，以CD為直徑的圓的方程為

g(x，y)=xy0+py0-x0y0-py，

兩個圓的方程相減，整理可得兩圓公共弦所在直線方程為

f(x)(k+k′)+2g(x，y)kk′=0，

那么直線m經過以該方程的解為坐標的定點.

當直線l，l′的斜率k，k′滿足αkk′+β(k+k′)=0(α，β是不全為零的常數)時，直線m的方程為αf(x)-2βg(x，y)=0.所以可得如下結論：

推論2過點P作兩條直線l，l′分別交拋物線Γ：y2=2px(p>0)于點A、B，C、D，直線l，l′的斜率為k，k′且αkk′+β(k+k′)=0 (α，β是不全為零的常數).那么以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓公共弦所在直線m為一條定直線.

最后，需要指出的是，如果兩圓的公共弦不存在時，那么本文提出的命題3反映的則是兩圓的根軸的性質.