點幾何的解題應用：計算篇

張景中 彭翕成

(1.華中師范大學國家數字化學習工程技術研究中心 430079；2. 廣州大學計算科技研究院 510006)

波利亞對于演繹推理，有過一段很精彩的論述[1]：

發現解法,就是在原先是隔開的事物或想法(已有的事物和要求的事物,已知量和未知量,假設和結論)之間去找出聯系.被聯系的事物原來離得越遠,聯系的發現者的功績也就越大.有時我們發現這種聯系就像一座橋:一個偉大的發現使我們強烈地覺得像是在兩個離得很遠的想法的鴻溝之間架上了橋.我們常常看到這種聯系是由一條鏈來貫穿的，一個證明像是一串論據,像是一條由一系列結論組成的鏈也許是一條長鏈.這條鏈的強度是由它最弱的一環來代表的.因為那怕是只少了一環,就不會有連續推理的鏈,也就不會有有效的證明.對于思維上的聯系我們更經常使用的詞是線索,比如說,我們都在聽教授講課,但他失去了證明的線索,或是被一些推理線索纏亂了,他不得不看一下講稿,以拾起失掉的線索,等他把線索整理出來得到最終結論時，我們也都已經困倦不堪了.將一條細微的線索當成一條幾何上的線,將被聯系著的事物當成幾何上的點,這樣無可避免地,一幅隱喻著一系列數學結論的圖式便必然地浮現出來了.

我們想，相當多的數學學習者在中學接觸幾何證明時，都會對波利亞的這段話有所體會.幾何證明除了需要靈機一動添加輔助線，還有的就是每一個條件都有多種使用的可能，推演前進多歧路，這使得操作起來困難.普遍認為，代數問題更具有可操作性.幾何題能否像代數題一樣，按部就班的操作？基于點幾何[2,3]，我們提出兩種方案.方案一就是本文，思路是將一個個點求出來，再考慮幾何關系.與解析法相比，無需將點轉化為坐標，只需求出點與點之間的關系，這樣一來，點幾何計算要相對簡明，幾何意義也更明確．方案二則是本文的續篇，思路是基于點幾何，表示出已知和結論，并建立恒等式建立已知和結論之間的關系.

圖1

考慮到D既是A、P兩點的線性組合，

點Q則稍微復雜一些，介紹兩種方法.

方法1：設Q=tF+(1-t)E=sB+(1-s)C，

解關于A、B、C系數方程組

方法2：設Q=tF+(1-t)E，

方法2只需設一個參數t，解一個方程，顯然比方法1簡便.但方法1是求交點的通法，也需要掌握.

有了上面點的坐標，就可輕松做很多事情.

例1如圖2，設四邊形ABCD的一組對邊AB和DC的延長線交于點E，另一組對邊AD和BC的延長線交于點F，則AC的中點L，BD的中點M，EF的中點N三點共線(此線稱為高斯線).

圖2

所以L、M、N三點共線.

說明：根據A、B、C的系數可列出三個方程，事實上只需解其中一個最簡單的方程，然后代入另外兩個方程檢驗即可.這樣一個幾何定理就等價于一個代數恒等式：

例2如圖3，點E、F分別是△ABC的邊AC、AB上的點,BE和CF交于點D,AD和EF交于點G,過點D作BC的平行線分別交AB、BG、CG和AC于點H、K、N和M.試證:2KN=HM.(《數學通報》問題征解2066)

圖3

由于H在AB上，

容易驗證2(K-N)=H-M.

例3如圖4，過△ABC的頂點A任引直線交BC的延長線于D,P是AD上任意一點,BP交AC于E,CP交BA的延長線于F,過F作FG∥BC交DE的延長線于G.求證:FG被DA平分.

圖4

計算2M-F=tD+(1-t)E，

例4如圖5，△ABC，H是垂心，O是外心，A1是BC中點，S與H關于A對稱，L與A關于A1對稱，求證：S與L關于O對稱.

圖5

證明設O=0，H=A+B+C，

L=B+C-A，S=2A-(A+B+C)，

得L+S=0.

例5如圖6，平行四邊形ABCD，M與P關于A對稱，N與M關于D對稱，Q與N關于C對稱，求證：P與Q關于B對稱.

圖6

題目翻譯：已知M+P=2A，N+M=2D，

Q+N=2C，A+C=B+D，求證：P+Q=2B.

證明P+Q=(2A-M)+(2C-N)

=(2A+2C)-(M+N)=2A+2C-2D=2B.

說明：此問題可看作是“依次連接四邊形中點的四邊形是平行四邊形”的逆命題，難度要大一些，注意P不一定在平面ABCD上.

例6如圖7，△ABC，在射線BA上取點A1，使得BA1=BC，在射線CA上取點A2，使得CA2=BC，類似定義B1，B2，C1，C2，證明：A1A2∥B1B2∥C1C2.(Sharygin GMO 2008)

圖7

因此A1A2∥B1B2.同理可證B1B2∥C1C2.

例7求證：三角形的三邊長度成等差數列的充要條件是其重心和內心的連線平行于三角形的一邊.

若2a-b-c=0，

反之若IG∥BC，

則2a-b-c=0且2b-c-a=-(2c-a-b)，

可得2a-b-c=0.

對于另外兩種情形同樣成立.

求證：EG⊥FH.

圖8

例9如圖9，△ABC中，AB=BC，D是AB延長線上一點，E是BC延長線上一點，且CE=AD.延長AC交DE于F，FG∥BE交CD于G，FH∥AD交AE于H.求證：FG=FH，AF⊥GH.(《數學通報》征解題2382)

圖9

證明設B=0，D=-mA,E=nC,F=tD+(1-t)E=-mtA+n(1-t)C,

根據平行線的性質，可得

系數和

=0，

所以FG=FH，AF⊥GH.

例10如圖10，△ABC中，∠C=90°，延長AC到A1，延長BC到B1，使得AA1=BB1=AB.設△ABC的內心為I，AB中點為M，證明：MI⊥A1B1.(《數學通報》征解題1114)

圖10

說明：為簡便，計算過程中我們用到∠C=90°，消去了AB項.如果不嫌麻煩，可保留這一項直到最后，這樣可得到新的命題.

新命題如圖10，△ABC中，延長AC到A1，延長BC到B1，使得AA1=BB1=AB.設△ABC的內心為I，AB中點為M，證明：MI⊥A1B1的充要條件是∠C=90°或CA=CB.

例11如圖11，△ABC的內切圓切三邊于D、E、F，G是線段AB上的點，且AF=GB，求證：AB⊥AC?DF⊥EG.

圖11

證明設A=0,

所以AB⊥AC?DF⊥EG.

例12設N、I、G分別是△ABC九點圓心、內心、重心，求證：NG⊥AI?∠A=60°.

(N-G)(A-I)

a2-b2+bc-c2=0?∠A=60°.