面向關鍵設備維修服務的PBC合同與BI保險集成設計

李 陽 （上海理工大學 管理學院，上海 200082）

0 引言

在國內外相繼提出中國制造2025和工業4.0后，越來越多的制造型企業向服務型企業轉型，有不少企業的生產設備都具有發生故障概率低、可用度高、操作復雜等特點，運營商自己是很難獨立完成維修保養工作的，越來越多的運營商將設備的維修服務外包給設備制造商。突發故障會帶來不可估量的損失。據波音航空集團統計，因起落系統、航電以及發動機等關鍵子系統失效導致的飛機“停場”事故造成波音航空集團每小時損失近15萬美元[1]。

運營商將關鍵設備的維修外包給設備制造商，雙方需要簽訂售后維修服務合同。目前主流的PBC合同已經逐漸取代了基于材料的（T&MC）合同，關于PBC合同的研究，Kim，Cohen等（2007）[2]明確了PBC概念，通過設備的運行情況，制定供應商的懲罰率度，激勵其提高設備的可用度，降低設備的運行成本。Kim和Cohen（2010）[3]通過基于平均設備中斷時間的PBC合同和累計設備中斷時間的PBC合同的設計比較，得出供應商提供關鍵設備的可靠性指標尤為重要。Guajardo和Cohen（2012）[4]通過大型飛機發動機制造商的數據，實證研究了基于時間物質的TMC合同以及基于性能的PBC合同，分析得出PBC合同模式下，相比TMC合同，設備可靠性會提高將近25%至40%。

而關于設備售后維修策略合同設計，Yeh等（2006）[5]研究了設備壽命服從韋伯分布的設備租用合同設計問題，考慮收益最大目標下決策最優的售后設備預防性策略。Pakpahan等（2016）[6]考慮到供應商在進行設備預防性維修的努力成本與運營商收益的權衡上，研究了運用委托代理理論構建性能合同，決策最優的設備預防性維修策略的決策問題。

對于營業中斷險的研究，馬中華等（2016）[7]研究了企業生產中斷，考慮購買業務中斷保險的賠償期優化問題，不同風險偏好的企業參與者，購買保險的可能與賠償期不同。

將服務運作與營業中斷險結合的研究，Dong和Tomlin（2012）[8]研究了如何通過購買業務中斷保險以及投資庫存，進行風險控制，決策出最優的保險額度，免賠額和庫存水平。Zhen等（2016）[9]研究通過購買運營中斷保險和備件運輸策略減緩運輸中斷風險，得出BI保險對于運輸的作用。秦緒偉等（2016）[10]研究了關鍵設備PBC合同設計與業務中斷保險的集成合同問題，通過保險緩解運營商設備中斷帶來的資金損失，同時得出保險與PBC合同的激勵作用。

上述文獻研究了PBC合同和營業中斷保險能夠有效提高關鍵設備可靠度，建立基于風險的性能維修合同，將PBC合同和營業中斷保險聯合研究。關于針對PBC合同固有的風險，將營業中斷保險以及雙方風險態度都考慮進去，通過模型求解，求出具體的PBC合同參數，目前還沒有相關研究報道。

本文以大型設備的維修服務為例，針對PBC合同固有的缺陷，引入營業中斷保險，考慮運營商和設備制造商的風險態度，運用馬克維茨均值—方差效用模型，求解PBC合同里面的關鍵參數。

1 問題描述及符號意義

1.1 問題描述

運營商與設備制造商簽訂設備維修服務外包協議，合同形式為PBC合同，協議期為LP，設備發生故障，供應商采用小修方式維修，假設每次維修后設備故障率不變，且故障率r（t）服從泊松分布過程。

在考慮到關鍵設備突發故障造成較長停機時間的情況下，以及合同內各成員面對風險持有的不同態度下，通過整合模型的優化（運營商的效用最大）來確定PBC合同里面的各項參數。

1.2 數學符號及意義（如表1）：

表1

2 模型建立

2.1 運營商和設備制造商利潤及費用模型

運營商和設備制造商之間的PBC合同如下：

w為固定支付，a為運營商分擔設備制造商的維修費用系數，OCM為設備維修費用，b為設備制造商共享運營商收益的系數，D（t）為設備總停機時間。

設備突發故障可以通過購買營業中斷保險來抵消收益損失，但是卻不能消除商譽損失，商譽期望損失如下：

設備維修方式采用小修，單位維修費用為CCM,在合同期內總維修費用如下：

考慮到設備故障率服從非齊次泊松分布，所以設備期望故障數和方差都為所以設備維修總費用的方差如下：

設備故障導致的單位停機時間xi服從指數分布，所以總的期望停機時間，停機時間方差如下所示：

運營商單位時間收益R，在合同期LP內的期望收益，期望收益方差如下所示：

運營商為防止設備突發故障長時間停機，造成巨大收益損失，購買營業中斷保險，保費率α，在合同期內應交保費為：

2.2 運營商與設備制造商效用函數整合模型

運營商和設備制造商都是在自己獲得最大效益的基礎上做決策。因此，考慮運用均值—方差效用模型來刻畫運營商和設備制造商的期望利潤函數。

運營商的期望利潤是由自身在合同期內創造的收益E（ OR），給予設備制造商的PBC合同支付P（ w,a,b），支付營業中斷保險費用自身的費用Oowner組成。r運代表運營商的風險態度，賦值1則代表運營商風險厭惡，賦值0則代表運營商風險中性。運營商的期望利潤函數如下：

設備制造商的期望利潤由運營商支付合同、設備維護費用組成，r設代表設備制造商的風險態度，賦值1則代表運營商風險厭惡，賦值0則代表運營商風險中性。期望利潤函數如下所示：

2.3 運營商決策模型

運營商考慮在自己的期望利潤效用最大的情況下，設計PBC補償合同，決策模型如下所示：

兩個約束條件含義如下：（1）設備故障停機時間必須要小于等于δ，（2）必須要激勵設備制造商接受這份合同，所以要使得設備制造商的期望利潤大于等于Ru。

3 算例分析

本節對所建立的整合模型進行數值案例分析。考慮設備故障模型服從兩參數的威布爾分布，單位停機時間服從λ的指數分布λ=500。保費率α=0.04，LP=1，δ=5%LP，其他數據來源與某大型挖煤廠，如表2所示：

表2

運營商的決策模型是非線性規劃問題，本文采用MATLAB里面的fmincon函數，結合目標函數的fun_objective以及非線性部分的fun_nonlinear函數進行運算，求解運營商期望利潤最大的情況下，不同風險態度下w,a,b的值。

將數據代入模型中，可以求解出在不同風險態度下，PBC合同參數的值使得運營商期望利潤最大。當運營商和設備制造商風險態度都為中性，a=37.75%，b=20%，固定支付w=9.61萬，運營商期望利潤最大。當運營商為風險厭惡，設備制造商為風險中性a=0.05%，b=22.04%，固定支付w=0.035萬，運營商利潤最大，當運營商為風險中性，設備供應商為風險厭惡時a=99.97%，b=0.49%，固定支付w=195.133萬，運營商利潤最大。當運營商和設備制造商都為風險厭惡時a=49.98%，b=21.55%，固定支付w=0，運營商利潤最大。

4 結束語

本文是對維修服務運作外包服務的主流合同PBC在跨界引入營業中斷保險和考慮雙方處于不同風險態度下，PBC合同如何設計的整合研究。運用了均值—方差效用模型，建立了運營商期望利潤效用函數，通過實際案例對模型進行了運算，求解出了在不同的風險態度下，該怎么制定PBC合同里面的各項參數，使得自身利益最大。此模型針對傳統的PBC合同固有的風險，引入了營業中斷保險和運營商和設備制造商的風險態度，可以很好的規避風險，獲得最大利潤，適合擁有大型設備的企業，可以更好的規避風險，同時又能夠獲得很好的利潤。另外，本文還存在著一些可以繼續延伸拓展的方向，可以將保費分攤，將分攤系數與設備故障停機時間掛鉤，也可以將保費率內生化，求解在三方視角下利益的最大化。