不確定環(huán)境下的致命沖擊模型

劉 穎，劉冬雪，馬 瑤

(天津科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，天津 300457)

沖擊模型是可靠性數(shù)學(xué)理論中的主要研究內(nèi)容之一，其研究的中心問題是系統(tǒng)失效時間或系統(tǒng)壽命[1]．它在交通[2]、保險(xiǎn)[3]、維修[4]、自然保護(hù)[5]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．例如，在飛機(jī)設(shè)計(jì)和驗(yàn)證定理過程中，沖擊模型可用于預(yù)測飛機(jī)結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命和可靠性；在環(huán)境保護(hù)領(lǐng)域，沖擊模型可用于分析自然保護(hù)區(qū)的壽命行為和失效規(guī)律；在對金屬化膜脈沖電容器“自愈”的失效機(jī)理進(jìn)行研究時，選取合適的沖擊模型對金屬化膜沖擊電容器可靠性進(jìn)行評估；在保險(xiǎn)問題上，也可利用沖擊模型對保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)進(jìn)行建模并給出破產(chǎn)概率估計(jì)等．

人們對沖擊模型的研究已久，如，Esary等[6]在基礎(chǔ)過程是齊次Poisson過程的情況下研究了系統(tǒng)的壽命分布，給出了生存函數(shù)的IFR、IFRA與NBU等性質(zhì)．隨后 A-Hameed等[7]將基礎(chǔ)過程推廣至非齊次Poisson過程的情形．Shanthikumar等[8-9]提出了一般沖擊模型．Anderson[10]研究沖擊之間的時間間隔具有無限期望的一般沖擊模型．Gut[11]建立了混合沖擊模型．Lam 等[12]研究了可修系統(tǒng)維修問題的沖擊模型．馬明等[13]主要研究截?cái)唳臎_擊模型的參數(shù)估計(jì)問題，利用極大似然估計(jì)法得到截?cái)唳臎_擊模型的參數(shù)估計(jì)量，并分析了其無偏性．Cha提出并分析了基于廣義波利亞新法的新沖擊模型[14]．姜培華[15]建立了一類簇生離散沖擊模型，每個周期的沖擊次數(shù)服從獨(dú)立同分布的二項(xiàng)隨機(jī)變量，在累積沖擊和極端沖擊兩種情形下，研究了系統(tǒng)壽命的生存函數(shù)和平均壽命.

在研究沖擊模型的過程中不得不面對各種非確定性因素．隨機(jī)性是一種客觀非確定性，概率論是研究這種非確定性的有效數(shù)學(xué)工具．但是使用概率論處理工程問題需要滿足 3個前提：事件需明確定義；有大量樣本存在；樣本之間具有概率重復(fù)性．當(dāng)不同時滿足以上的條件時，將不能運(yùn)用概率論解決問題．這時，一些學(xué)者開始運(yùn)用模糊理論處理此類問題．但 Liu[16]提出的貨車過橋問題，分析得出模糊變量并不是適合于不確定量建模的工具這一結(jié)論，說明模糊理論處理問題同樣存在局限性．

2007年，清華大學(xué)的劉寶碇教授提出了不確定理論[17]．近年來，不確定理論被廣泛應(yīng)用在不確定微分方程[18]、不確定統(tǒng)計(jì)[19]、不確定規(guī)劃[20]、不確定金融[21]、不確定控制[22]等眾多研究領(lǐng)域．本文將不確定理論引入致命沖擊模型的研究中，可對樣本規(guī)模較小的一類問題進(jìn)行建模和分析，解決使用概率論建模及可靠性分析不精準(zhǔn)的問題．

1 不確定理論

劉寶碇教授提出了不確定理論之后，又對該理論進(jìn)行了細(xì)化和補(bǔ)充，下面給出與本文相關(guān)的定義和定理[17, 23]．

假設(shè)Γ是非空集合，L是Γ上的子集構(gòu)成的σ-代數(shù)，L中的每一個元素Λ稱之為事件．那么，為了進(jìn)一步介紹不確定理論的公理化定義，對每個事件Λ發(fā)生的信度指定一個數(shù)值M{}Λ，其中信度M需要滿足Liu[17]提出的4條公理：

公理1(規(guī)范性) 對于全集Γ，有 M{Γ}=1．

公理2(單調(diào)性) 對于任意事件，當(dāng) Λ1?Λ2時有

公理3(自對偶性) 對于任何事件Λ和cΛ，有

公理 4(次可加性) 對于任意可列可數(shù)事件列Λ1, Λ2,… ,都有

定義 1 若集函數(shù)M滿足規(guī)范性、單調(diào)性、自對偶性和次可加性，則稱M是非空集合Γ上的不確定測度．

定義 2 設(shè)Γ為非空集合，L是由Γ的子集構(gòu)成的σ-代數(shù)，M是不確定測度，則稱三元組(Γ,L, M)為不確定空間．

定義 3 不確定變量ξ定義為從不確定空間(Γ, L, M)到實(shí)數(shù)集的可測函數(shù)，即對任意 Borel集B，集合為一個事件．

定義 4 不確定變量ξ的不確定分布Φ定義為實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)x，

注：由公理3可知

定義5 不確定變量ξ為線性不確定變量，若其不確定分布

記作L( a, b)，對于任何的實(shí)數(shù)a和b都有a＜b．

定義 6 設(shè)ξ為不確定變量，Φ為其分布函數(shù)，那么Φ的反函數(shù)Φ-1稱為不確定變量ξ的逆分布．

定義 7 線性不確定變量L( a, b)的逆不確定分布為

定義 8 若ξ為不確定變量，M為不確定測度，那么ξ的期望值定義為

只要以上兩個積分中至少有一個是有限的．

定理 1 若不確定變量ξ的不確定分布函數(shù)為Φ，且ξ的期望存在，則

2 建立模型

假設(shè)系統(tǒng)由2個部件組成(圖1)，這些部件在受到外界沖擊后會失效，沖擊到達(dá)的時間為不確定變量．系統(tǒng)中有3個相互獨(dú)立的沖擊源，當(dāng)沖擊1發(fā)生時，僅引起部件 1失效，沖擊發(fā)生的時間用U1表示，其不確定分布為Φ1(x)；當(dāng)沖擊2發(fā)生時，僅引起部件2失效，沖擊發(fā)生的時間用U2表示，其不確定分布為Φ2(x)；當(dāng)沖擊3發(fā)生時，同時引起2個部件失效，沖擊發(fā)生的時間用U12來表示，其不確定分布為Φ12(x)．因此，可知部件1和部件2的不確定壽命X1和X2分別為

圖1 沖擊模型Fig. 1 A shock model

定理4 X1與X2的聯(lián)合生存不確定分布為

證明：當(dāng) 0≤t1≤t2時，由式(1)、式(2)、式(8)和式(9)可知

當(dāng)0≤t2≤t1時，由式(1)、式(2)、式(8)和式(9)可知

綜合式(11)和式(12)，有

證畢．

定理5 X1和X2的邊緣生存不確定分布分別為

證明：由式(1)、式(2)、式(8)和式(9)可得該致命沖擊模型的邊緣生存不確定分布分別為

證畢.

定理6 X1和X2的平均壽命分別為

證明：由式(1)、式(2)和式(5)可得

證畢．

定理7 若X1和X2為不確定壽命，則有

證明：由式(7)、式(8)和式(9)可得

證畢．

定理8 若X1和X2為不確定壽命，則有

證明：由式(7)、式(8)和式(9)可得

證畢．

定理9 X1和X2的矩母函數(shù)為

證明：由式(7)、式(8)和式(9)，可得 X1和 X2的矩母函數(shù)為

證畢．

3 算 例

由式(4)可知其逆不確定分布函數(shù)分別為

由定理4可求X1與X2的聯(lián)合不確定分布

由定理5可得 X1, X2的邊緣生存不確定分布為

由定理6可知，各部件壽命分別為

由定理7，有

由定理8，有

由定理9可得，X1,X2的矩母函數(shù)為

4 結(jié) 語

不確定理論是建立在規(guī)范性、自對偶性、次可加性和乘積測度公理化體系之上的數(shù)學(xué)分支．當(dāng)樣本規(guī)模較小時，概率論將不再有效，此時，采用不確定理論可解決此類問題．本文研究不確定環(huán)境下的致命沖擊模型，將沖擊源引起部件失效的時間視作不確定變量，進(jìn)行建模和分析，給出了沖擊模型的聯(lián)合生存不確定分布及相關(guān)定理．為計(jì)算簡便，給出了不確定變量服從線性分布時的數(shù)值算例，但該方法同樣適用于任意不確定分布．

致謝：本文研究得到“2018年中國輕工業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(KFKT2018C09)”的資助，特此致謝！