水下環肋圓錐殼臨界壓力—頻率特性分析

張帥 ，李天勻*，3，郭文杰 ，朱翔 ，3，林子欽

1華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢 430074

2船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，湖北武漢 430074

3高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240

4華東交通大學鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西南昌330013

0 引 言

環肋圓錐殼的結構形式簡單，且力學性能穩定，因而在工程建筑中得到廣泛應用。通常，潛艇艉部可用環肋圓錐殼近似模擬。目前，國內外針對水下圓柱殼臨界壓力問題的研究已較為充分，而對水下環肋圓錐殼臨界壓力—頻率特性的研究則相對較少。同時，由于環肋圓錐殼的幾何特性較圓柱殼復雜，在實際工程應用中，求解環肋圓錐殼振動問題的難度較大。因此，針對水下環肋圓錐殼的臨界壓力—頻率特性問題，開展理論研究具有重要的工程指導意義。

針對水下環肋圓錐殼體的振動問題，相關學者采用諸如有限元法、邊界元法、能量法及解析法等對其進行了研究。Crenwelge等［1］根據應變—位移的關系，采用能量法分別求解了簡支情況下圓錐殼加環肋和縱骨的自由振動特性。Arnold等［2］對兩端簡支及兩端剛固的圓柱殼的振動特性進行了理論和實驗研究。Tong［3］采用冪級數的形式，對正交各向同性及正交各向異性的圓錐殼的線性自由振動特性進行了研究。Irie等［4］使用遷移矩陣法分析了厚度可變的圓錐殼的自由振動特性。Yuan等［5］使用瑞利—里茲方法解決了圓柱板殼組合的振動特性問題。Lashkari等［6］針對錐柱組合殼，比較了有限元數值解與實驗結果，發現結果吻合較好。Hu等［7］提出了一種綜合理論分析和實驗結果的方法來解決錐柱組合殼的載荷施加問題。Guo［8-9］研究了彈性波在真空圓錐殼內的傳播和輻射特性，并采用攝動技術，以小頂角作為參數，分析了圓錐殼上波浪流體加載的影響。郭文杰等［10］采用鏡像原理及加法定理，求解了有限浸深圓柱殼的振動特性。陳美霞等［11］采用冪級數法研究了不同邊界條件下水中環肋圓錐殼的振動特性。

靜水壓力作用下結構穩定性及臨界壓力的測量一直是工程上比較關心的問題。劉碩剛等［12］采用試驗與有限元相結合的方法，對靜水壓力作用下環肋圓柱殼在各振動模態下的結構固有頻率進行了計算分析，給出了在靜水壓力下臨界壓力的判定方法。王宗利等［13］采用基于軟件的數值分析方法，通過對耦合系統的建模與分析計算，討論了不同水深的靜水壓力對水下結構自振特性的影響。陳忱等［14］提出了基于波傳播法圓柱殼的臨界載荷預報方法。李天勻等［15］采用Galerkin法求解了不同靜水壓力下的圓錐殼的頻率特性。孟凡深等［16］采用波動法和牛頓迭代法，得到了不同邊界條件下功能梯度圓柱殼的固有頻率以及臨界壓力值。Liu等［17］分析了靜水壓力對水下環肋圓柱殼輸入功率的影響。但目前針對水下環肋圓錐殼臨界壓力—頻率特性的研究還較少。

本文擬基于Flügge殼體理論，將不同水深的靜水壓力代入殼體方程，得出靜水壓力與固有頻率的關系以及環肋對水下圓錐殼承壓能力的影響，然后考慮邊界條件以及權函數的選取，從而求解臨界壓力—頻率特性，為研究環肋圓錐殼臨界壓力振動頻率問題提供新的思路。

1 理論分析

1.1 理論模型

如圖1所示，截頂錐殼小端半徑為R1，大端半徑為R2，整個截頂錐殼長為L，殼體的厚度為h，半錐角為α，殼體質量密度為ρ，坐標s，θ，z分別為圓錐殼的母線方向、圓周方向和法線方向，位移分別為u，v，w，q為靜水壓力（當靜水壓力為外壓時，q取負值）。

圖1 截頂圓錐殼坐標系Fig.1 Truncated conical shell coordinate system

1.2 殼體振動方程

靜水壓力下的殼體振動平衡方程為［14，18］

式中：R為殼體中面半徑；F1，F2，F3分別為軸向、周向和法向靜載荷；Ns，Nθ，Nsθ，Nθs為單元內面力；Qs和Qθ分別為軸向和周向剪力；Pf為流體聲載荷（動載荷）；ρ為殼體密度。

1.3 環肋的力學效應

環肋的力學效應主要體現為周向內力和內力矩的變化［19］：

圖2 環肋示意圖Fig.2 Schematic diagram of ring-stiffener

式（1）中的h用代換，=h+A/dL。

2 方程求解

對方程（1）進行變換，具體過程可參考文獻［15］，得到如下矩陣：

式中，L為殼體方程的微分算子，具體表達式可參考文獻［14］。

目前，方程（3）還沒有準確的解析解，故此處采用Galerkin法進行近似求解。

為了求解方程（3），需要作出一些假設：

1）構造一個滿足邊界條件的位移型函數；

2）當圓錐殼兩端簡支時，滿足v=w=Ns=Ms，其中Ms為未加環肋殼體單元內彎矩。

滿足上述假設條件的型函數可寫成

式中：n為周向波數；m為軸向振動波數；ω為圓頻率；U，V，W分別為軸向、周向和法向的位移幅值。

將方程（4）代入方程（3），變換可得

其中，

在使用加權殘值法之前，還需要選取殘值函數以及權函數。令式（5）左邊的函數為殘值函數，令除去廣義位移幅值U，V，W的權函數為型函數，然后使用Galerkin法進行積分：

對式（7）進行積分變換，采用矩陣的形式表示為

式中，FL為流體載荷積分的貢獻項。FL的表達式為

式中，L1為圓錐殼分段后第1段的長度。

根據文獻［10］，可采用小頂角作為參數來求解圓錐殼上的波浪載荷。

理想流體在柱坐標下的Helmholtz波動方程為

式中，Cf為流體中的聲速。

根據聲學邊界條件可知，流體與殼體在其接觸面上必須滿足二者的徑向速度相等，即

式中：ρf為流體密度；Rj為第j個圓柱殼微段。

根據文獻［10］提出的求解方法，可由式（10）和式（11）求解第j個圓柱殼微段的Pf：

式中，kR為徑向波數。在求解kR時，需引入變量kf和k，其中，為流體中的自由波數，，為軸向波數。如果kf＞k，則，這時為第1類漢克爾函數。如 果kf＜k，則，這時Zn()=Kn()，Kn()為第2類貝塞爾函數。

將圓錐殼分解為a個小圓柱殼微段，對流體聲載荷積分貢獻項FL進行數學變換，可寫成如下形式：

式中，lj為圓錐殼第j段。

計算表明，a=20時的收斂性很好，所以

將方程（13）代入方程（8），可得

求解方程（15），即可得到環肋圓錐殼的固有頻率。

3 環肋圓錐殼算例分析

3.1 方法的準確性分析

圓錐殼的具體參數如下：R1=1 m，R2=R1+Lsinα，L=2 m，L1=R2/sinα-L，h=0.01 m，α=10°，30°，50°，ρ=7 850 kg/m3，E=2.1×105MPa，ρf=1 000 kg/m3，Cf=1 500 m/s，qcr為臨界壓力。通過上述參數可以求得圓錐殼的無量綱臨界壓力。根據文獻［20］可知，圓錐殼最小的無量綱臨界壓力如表1所示。

表1 無量綱圓錐殼臨界壓力值對比Table 1 Comparison of critical pressure values of dimensionless conical shells

由表1可知，本文計算得到的數據與參考文獻［20］的數據誤差很小，證明了本文計算方法的準確性。另外，分析表中數據可得：

1）當半錐角不變時，臨界壓力與L/R1的比值呈線性負相關，表明臨界壓力隨殼體長度的增加而減小；

2）當L/R1不變時，殼體半錐角越大，臨界壓力越小。

3.2 環肋對結構承壓能力的影響

圓錐殼基本參數選取不變，環肋的參數為：Er=1.6×1011Pa，br=0.01 m，hr=0.02 m，dL=0.04 m，共有50個環肋。通過計算，確定環肋圓錐殼基頻時的模態數為m=1，n=12。由圖3可以看出，環肋圓錐殼固有頻率（f）的平方和靜水壓力呈近似線性關系。這是由于水下環肋圓柱殼可近似為類梁結構，而軸壓梁固有頻率的平方和軸向壓力呈現近似線性關系［21］，因此他們的關系也適用于水下環肋圓錐殼。

圖3 環肋固有頻率與靜水壓力的關系Fig.3 Relationship between natural frequencies and hydrostatic pressure in ring-stiffener

由圖4可知，線性擬合求得環肋圓錐殼臨界壓力值為2.076 MPa，與無環肋時的臨界壓力值0.467 8 MPa［15］相比顯著增大，說明環肋可以顯著增強圓錐殼體的承壓能力。

圖4 環肋圓錐殼臨界壓力的計算Fig.4 Calculation of critical pressure of ring-stiffened conical shell

當圓錐殼基本參數不變，分別改變環肋的1個參數（從Er，br，hr中選擇），保持另外2個參數不變，得到的無量綱臨界壓力qcr/E隨參數的變化情況如表2所示。

由表2中數據可知，臨界壓力與Er，br和hr正相關，隨其值的增大而增大。因為這3個參數增大時，整個殼體的剛度也會隨之變大，殼體的承壓能力隨之變強。

表2 隨參數變化的環肋圓錐殼臨界壓力無量綱值（m=1，n=12）Table 2 The non-dimensional value of the critical pressure of the ring-stiffened conical shell with variable parameters（m=1，n=12）

3.3 環肋對固有頻率的影響

圓錐殼基本參數不變，分別改變環肋的1個參數（從Er，br，hr中選擇），保持另外2個參數不變，此時選取環肋圓錐殼基頻的模態數為m=1，n=16，得到的固有頻率f隨參數的變化值如表3所示。

表3 隨參數變化的環肋圓錐殼固有頻率值（m=1，n=16）Table 3 The natural frequency value of the ring-stiffened conical shell with variableparameters（m=1，n=16）

通過表3的計算結果可知，環肋對固有頻率的影響顯著。當環肋的彈性模量Er增大時，固有頻率會隨之增大；當br和hr變大時，固有頻率均會隨之增大。表2和表3中的數值是在環肋圓錐殼兩端簡支的情況下計算得到的。通過分析這些數據可知，對環肋相關參數的設計以及經過修正以后得到的臨界壓力值，可以用于工程設計及評估。

4 結 語

本文結合波傳播法及Galerkin法計算了水下環肋圓錐殼的臨界壓力和固有頻率。建立了考慮靜水壓力的圓錐殼振動方程以及環肋力學平衡方程，采用線性擬合的方法得到了臨界壓力。研究結果表明，任意模態下水下環肋圓錐殼固有頻率的平方隨靜水壓力的增大呈近似線性遞減的關系，并由此可以得到臨界壓力，經過修正，可以將其用于工程設計及評估中。對比結果證實了本文理論方法的可靠性，這為水下環肋圓錐殼臨界壓力的無損預報提供了新的求解方法與思路。