二項式定理的起源及其應用

摘要：二項式定理許多人都不陌生，在初等數學中就對二項式定理有了介紹，它是一種基本的運算。談到二項式定理的起源，則可以追溯到五六百年之前，古代的歐洲亞洲都對它做過研究。古時候，關于二項式乘方展開，人們就有了樸素的思考，到了近代則逐漸完善著它，如今，在眾多領域都能見到二項式定理的廣泛應用，如開高次方、等差數列求和等等，并且對微積分的發展起到了至關重要的一步，除了在數學領域，在遺傳學、物理學也都有相關應用。本文對二項式定理的定義、起源、性質及其在高考等領域的應用進行了充分介紹，希望能對有關研究起到幫助。

關鍵詞：二項式定理? ?乘方展開? ?應用

二項式定理許多人都不陌生，在初等數學中就對二項式定理有了介紹，它是一種基本的運算。談到二項式定理的起源，則可以追溯到五六百年之前，古代的歐洲亞洲都對它做過研究。在概率論的研究中，二項式定理源遠流長，在歐洲的1664年、1665年之間，被艾薩克·牛頓首先提出。雅克·伯努利（Jacques Bernoulli）也對它做過研究。在1708年到1718年之間，有學者研究了多項式，即二項式分布的多維泛化。后來科學家多數情況下使用二項式定理在具體情境下的應用，經過不斷發展，亞伯拉罕·棣莫弗于1733年首次發表了他的研究成果，其后皮埃爾·西蒙德拉普拉斯、弗朗西斯高爾頓等人將二項式定理應用到物理學中進行統計檢驗。二十世紀，在遺傳學、生物學、植物生態學領域，二項式定理得到了廣泛的應用。

一、二項式定理的定義

在初等代數中，二項式定理（或二項式展開）描述了二項式冪的代數展開。根據定理，能夠擴大多項式（a+b）n成總和涉及形式上一個ax by。

根據該定理，可以將a+b的任何冪擴展為形式的總和（a+b）n=an+ an-1b+ an-2b2+…+ ab n-1+bn，每個n和n-k是一個特定的正整數，稱為二項式系數。（當指數為零時，相應的冪表達式被取為1，并且該乘法因子通常在該項中被省略。該公式也稱為二項式或二項式。

二項式定理的最基本的例子是用于平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2，出現在該擴展中的二項式系數1，2，1對應于Pascal三角形的第二行。（注意，按照慣例，三角形的頂部“1”被認為是第0行。）x+y的較高冪的系數對應于三角形的較低行：

二、二項式定理的起源

平方和公式對很多人來說都不陌生，古時候的中國就已經在運用這個公式 （a+b）2=a2+2ab+b2了。平方和公式是公式（a+b）n的特殊化。說到（a+b）n就必須介紹“賈憲三角”。因為（a+b）n的系數表為：

以上這個三角形，通常被稱為“賈憲三角”。古人認為這個三角形是北宋的數學家賈憲首先發現。此外，在阿拉伯也有一位數學家在他的著作《算術之鑰》中給出了該三角形，他就是卡西，他同賈憲所用的方法基本一致。

而在歐洲，這個三角形一般被稱為“Pascal三角形”，因為大多數歐洲人持這樣一個觀點：該三角形是法國科學家Pascal首創的。但事實上，從時間上看，中國和阿拉伯發現這個三角形要早于歐洲。

到了1665年，牛頓對二項式定理進行了推廣，除了n為正數以外，n為負數和分數的情境下同樣適用，牛頓對推廣到了n為分數與負數的情形作了說明，寫出了二項式定理的展開式（a+b）n=an+an-1b+an-2b2+…+ abn-1+bn

但牛頓僅僅給出公式，并沒有相應的證明，一直到了1811年，才有大數學家高斯的證明，驗證了牛頓的猜想。

三、二項式定理在高考中的考查方向

二項式定理作為高中數學課中重要的內容，一直是高考考查的重點難點，在歷年高考中都經常出現，有涉及到二項式定理的題型，題目變化多樣，不但有選擇填空，也有難度較大的證明題。對高中生在能力上的要求，二項式定理并不太高，主要考查方向在于運用二項式定理來分析、解決問題，其他很少做要求。 高中生只需要能夠掌握其基本性質，此外，也要具備熟練運用的能力，掌握這兩項就能夠解決相應問題，如求二項展開式、二項式系數等多種問題。

（一）二項式定理性質

熟練掌握二項式定理的性質才能順利解題。

1.二項式系數的對稱性：若兩個二項式系數位于展開式兩端，且滿足“對距離”條件，則它們恒保持相等。

2.二項式系數的奇數項和與其偶數項和保持相等。

3.二項式系數的最大項的唯一性。

4.系數的最大項求法，根據最大項的唯一性可很容易得出求法，在這里不再詳細贅述。

（二）二項式定理的應用

在歷年高考，二項式定理作為高中數學課中重要的內容，一直是高考考查的重點難點，在歷年高考中都經常出現，有涉及到二項式定理的題型，題目變化多樣，不但有選擇填空，也有難度較大的證明題。對高中生在能力上的要求，二項式定理并不太高，主要考查方向在于運用二項式定理來分析、解決問題，其他很少做要求。 高中生只需要能夠掌握其基本性質，此外，也要具備熟練運用的能力，掌握這兩項就能夠解決相應問題，如求二項展開式、二項式系數等多種問題。

1.求二項展開式

求二項展開式為有關二項式的所有考題中最常見也是最簡單的題型，不涉及任何解題技巧，只要熟背公式，運用二項展開式的通項展開即可。需要注意如果式子比較復雜，可以先化簡再用進行展開，這樣可以降低難度。

2.求二項式系數

求二項式系數較求二項展開式的難度有所增長，但相對來說也比較基礎。此處需要利用二項式展開式的通項公式，并結合二項式系數的性質，可能還需進行二項展開式的恒等 變換，在歷年高考出現的可能性更大，該類題型所占比例也相對較高，針對不同的題型，萬變不離其宗，要牢記通項公式并熟練運用二項式系數的性質，兩者相結合求出答案。

3.求二項式有理項

利用二項式定理求二項式有理項問題，在高考中非常常見，只要學生能夠熟練掌握并靈活運用通項公式，往往問題不大。需要學生能夠熟記通項公式，通過抓住給定條件，找出題目特征，結合通項公式逐個擊破。

4.求近似值

利用二項式定理求近似值的問題對計算能力有較高要求，因此不常出現，不作為考查的重點。但也應該知道有這一種題型。

5.求整除或余數問題

有關整除或余數問題也屬于高考中一類重難點題型，對于這類題型，有其固定的方法，在解題時一定要注意仔細認真，避免犯低級錯誤。

6.證明不等式

證明題一直是很多學生的“老大難”問題。許多學生畏懼證明題，看到證明題就不愿意動手，其實證明題也是有其技巧的，只要記住每種題型的步驟，就很簡單。在高中證明題的主要方法有以下幾種，放縮法、分析法、換元法、數學歸納法等，因為證明題本身很難，因此初等數學中考查難度較小，只要多做題，熟練基本套路即可。

四、二項式定理在其他領域的應用

除了歷年高考將二項式定理作為考查的一個重難點，它在其他領域也有著廣泛的應用。

（一）二項式定理在概率論中的應用

在概率論和統計學中，二項式法模擬了在幾個相同隨機實驗的獨立重復期間獲得的成功數。表示這一系列實驗的最直觀方式是使用概率樹：在每一代樹中，從每個節點開始引出兩個分支，一個用于成功，一個用于失敗。

在數學上，這個離散概率定律由兩個參數描述：n實驗的數量，和p成功的概率，名為伯努利測試。對于每個名為伯努利測試的實驗，我們需要定義一個隨機變量，該隨機變量只有兩種取值，0和1，隨機試驗成功取1，反之則取值0。隨機變量，即所有這些隨機變量的總和，計算成功的數量，為是二項式定律。那么我們則可以很容易得出在重復的n次實驗中，獲得k成功的概率：

二項式定理可以用于簡單情境下模擬成功或失敗的概率，例如硬幣游戲。

（二）高階等差數列

高階等差數列在初等數學中常見的題型中為求通項和前n項和，而在高等數學中則有更深層次的問題，即求解差分方程，解決問題的方法有很多，如逐差法、待定系數法、裂項相消法、化歸法等，用二項式定理也可簡便求解。

（三）在組合數學中的應用模型

證明組合數恒等式，通常采用賦值法進行構造，再通過研究甬數關系變更問題獲得解決。

（四）二項式定理在遺傳學中的應用

遺傳學是生物相關專業的重要基礎課，難度比較大，不少遺傳學問題的解決往往需要利用一定的數學知識，其中有關二項式定理在遺傳學中有著較為廣泛的應用。

1.嬰兒性別與拋硬幣問題

出生嬰兒性別問題是遺傳學中常見的問題，該類問題有一下特質，一方面，每一次嬰兒出生時既可能是男孩也可能是女孩，其概率均為50%，另一方面，具體某次出生嬰兒的性別不受其他時間出生嬰兒性別的影響，即在概率論的角度上講，連續出生嬰兒性別問題是相互獨立的事件，相當于進行了n次獨立重復試驗;此外，嬰兒性別只存在兩種可能，要么是男孩，要么是女孩。綜上所述，在該問題上，可以使用二項式定理求解。

2.雜種后代

群體中基因型分布問題，也可以用二項式定理來解決，這是因為雜合基因在形成配子時，無論配子帶有顯性基因，抑或是帶有隱性基因，他們的概率都是相等的，都是50%，而多對基因組合在概率論的角度上講，也相當于是獨立重復事件。

二項式定理在遺傳學中的應用還有很多，此處簡要介紹兩個比較典型的例子。

五、結語

二項式定理許多人都不陌生，在初等數學中就對二項式定理有了介紹，它是一種基本的運算。談到二項式定理的起源，則可以追溯到五六百年之前，古代的歐洲亞洲都對它做過研究。在概率論的研究中，二項式定理源遠流長，在歐洲的1664年、1665年之間，被艾薩克·牛頓首先提出。雅克·伯努利（Jacques Bernoulli）也對它做過研究。在初等代數中，二項式定理（或二項式展開）描述了二項式冪的代數展開。根據定理，能夠擴大多項式（a+b）n成總和涉及形式上一個ax、by。在歷年高考，二項式定理作為高中數學課中重要的內容，一直是高考考查的重點難點，在歷年高考中都經常出現，有涉及到二項式定理的題型，題目變化多樣，不但有選擇填空，也有難度較大的證明題。對高中生在能力上的要求，二項式定理并不太高，主要考查方向在于運用二項式定理來分析、解決問題，其他很少做要求。高中生只需要能夠掌握其基本性質，此外，也要具備熟練運用的能力，掌握這兩項就能夠解決相應問題，如求二項展開式、二項式系數等多種問題。如今，在眾多領域都能見到二項式定理的廣泛應用，如開高次方、等差數列求和等等，并且對微積分的發展起到了至關重要的一步，除了在數學領域，在遺傳學、物理學也都有相關應用。本文對二項式定理的定義、起源、性質及其在高考等領域的應用進行了充分介紹，希望能對有關研究起到幫助。

參考文獻：

[1]鄢盛勇.四元數分析中的冪函數與二項式定理[J].成都師范學院學報，2017，（07）：120-124.

[2]孟桂芬.二項式定理的應用[J].承德民族職業技術學院學報，2003，（03）：56-57.

[3]滕旭.由二項式定理到多項式定理的推廣研究[J].曲靖師范學院學報，2017，（06）：1-5.

（作者單位：河北省張家口市第一中學）