結合數學建模的微積分課堂教學改革與實踐分析

時彬彬 李仁所 王學蕾 周忠國 孔德洲

摘要：微積分是高等教育中難度較高的一門公共課程。上好微積分第一堂課，從講數學建模案例入手，以此為橋梁，引導學生了解數學應用之廣泛，認識到學好數學的重要性，以提高學生學習數學的興趣。利用經典模型，分析微積分知識體系，并將課上教學與信息化輔助工具相結合，進一步幫助學生掌握知識脈絡，抓住知識精髓并融會貫通。

關鍵詞：數學建模；微積分；教學改革；教學實踐

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）15-0141-02

以創新教育為前提，以學生為中心，順應新時代現代化發展的需求，是高等教育改革的根本任務。以此為前提貫徹新的教學理念，不斷涌現出各種新型教學模式[1]。現今的社會大環境“實用主義”與“利益至上”大行其道，青年人“崇拜各種明星，不愿獻身科學， 不再以學術研究為榮，聰明拔尖的學生都去學金融、法律等賺錢的專業。[2]”而作為高校管理者和高等教育工作者，需清醒認識到，大學的發展離不開學術這個根本，大學生更不能脫離學習這個核心。而科研創新能力，與數學學科的發展和數學課程的教學質量緊密相連。依托高等教育，使學生打下夯實的數學基礎，建立較高水平的數學素養，未來無論從事科研或某項具體工作，成功的機率將大大加強。

微積分作為高等數學主要組成部分，在傳統學科、新興學科以及交叉學科中起到了重要作用。而將實踐中帶有相同性質的問題以數據化準確描述，進一步上升到理論，即抽象為數學模型。通過理論分析，進而給出實踐指導，目的是構建解決實際問題的橋梁。可見，數學建模揭示了事物發展的規律，只要需用數據說明的學科，就離不開數學建模。

數學建模促進了導向性教育的開展。即使對于幾乎不親自做建模的學生，也將不可避免面對其他人的模型，比如撰寫畢業論文。數學建模強調理論的實際應用，注重隊員間的協同合作，鼓勵從“本源”入手理解問題，從而激發學生自主研究問題的興趣與積極性，拓展探索與研究的空間，尋找新的思想與方法。同時，數學建模并不過于追求方法的復雜性，反而更推薦以“合適”為前提的創新性。從這幾點可見，如果學生能具有一定的數學建模思想，掌握一定的建模方法，則認為學生已培養了數學思維方式，已具備良好的數學基礎與素養。

通過近幾年的微積分教學工作，結合數學建模的課堂教學改革，實踐檢驗得以下幾點認識。

一、上好微積分第一堂課，將數學建模合理融入其中

首先，從開始抓住學生的興趣點，上好第一堂數學課至關重要。老師講好第一堂課，整部課程即開啟良好開端，之后的教學計劃才能流暢執行。同時，學生的學習積極性調動起來，師生互動得以加強，學生的學習情況和想法將更多地反饋回教師，有利于教師作深入思考，隨時調整教學手法，任課教師也就逐步樹立起個人獨特的教學風格。

其次，第一堂微積課程教師一般準備的內容是介紹微積分的發展史，可以抽出一節課時，講一些與初等數學有關的數據分析模型，或者簡單優化模型。比如：“解讀現今流行的選秀節目總冠軍是如何產生的。”“承包了一個魚塘，怎樣才能有更好的效益？”“某地區的居民消費價格指數（CPI）與什么有關？”等。需注意，將數學建模思想融入微積分的教學，其意義在于建模所選題目能夠幫助學生更好地理解、掌握微積分的重要概念、思想和方法，在此基礎上，讓學生適當對建模的思路與步驟做初步嘗試與實踐。因此，模型不能過多，不應太過復雜，一切都以服務于微積分教學為前提，不能主次不分。

另外，一堂課畢竟時間有限，教師應注意后續系列措施，在教學改革中尤顯關鍵。比如，第一堂課以“承包了一個魚塘，怎樣才能有更好的效益？”為例，從離散型模型過渡到連續型模型，不僅銜接初等數學知識，而且明確提醒學生，作為定量地研究變量變化的微積分學，離散和連續的概念不要人為去割裂。在講到連續定義時，可將連續模型和為什么要學好微積分相結合。在講到導數定義時，許多學生反映中學已學習過此概念，教師可在此處強調與中學知識體系異同，作為開講前的伏筆。特別是講到導數應用時，引入一個帶有“相關變化率”的數學模型，承前啟后，加深對導數概念的認知。

二、結合數學建模，微積分教學改革與創新形式更加靈活多樣

如今，應用多媒體教學與使用板書相結合是微積分教學常用模式[3]。結合數學建模的特點，可以將課上教學與信息化輔助工具相結合，實踐發現教學效果會更好；在授課方式方面，重點難點精講與其他非重點蜻蜓點水式教學相結合，將啟發式教學和適度灌輸相結合，張弛有度，使學生在授課過程中聽與思并進；在應用舉例方面，選擇一個既簡單又經典的建模實例，在知識體系中反復使用，分析多個概念，解決多個問題，這樣在教學中更容易將知識進行橫向、縱向的雙重對比，加深學生對知識點的理解；在軟件應用方面，適當解讀算法的設計思路，并與常用數學軟件相結合，可以闡述數學軟件的優點與劣勢，便于學生實驗操作。而在許多創新實踐競賽或課程設計中，數學軟件的應用已非常廣泛。

現代化終端軟件的開發與應用已涉及生產生活的方方面面，作為信息化的一代更加普及。通過課上或課下、電腦或手機終端軟件的應用，教師可發布隨堂測驗、問卷調查或小課題形式，既能作為隨堂考勤的輔助工具，又能使學生多思考、多研究、多動手、多提問、多討論、多交流。通過終端軟件的應用，可隨時觀察學生是否注意到數學建模的四個關鍵步驟：合理假設、模型建立、模型求解和檢驗論證[4]，而這四個步驟，也正映射數學對問題的觀察、思考？分析和解決的經典分析模式。

三、微積分與數學建模相結合的教學改革，需注意幾點時效性

作為教學改革的重點，教師需注意所用數學模型的時效性。比如，應用“預測”和“控制”所建模型系統，如果結合近期發生的新聞，如“實事政治”“社會經濟”或“體育賽事”等，更容易引起學生的共鳴，提高聽課興趣。另外，教師還需注意教學輔助工具應用中的時效性。比如，隨堂測驗等輔助活動提倡在規定時間段內高質量的互動，檢驗的時效性是關鍵。對能夠按時提交測驗或認真完成小課題的學生，教師可用提高平時成績的方法提高學生的積極性。而除上述工作之余，教師盡量真實詳盡地記錄教學效果與學生的反應情況，之后在課題組討論會中與其他教師一起探討，共同研究問題所在，從而提出合理有效的改進方法。

總之，通過近幾年教學實踐，將數學建模引入微積分教學，做到兩者融會貫通、相得益彰，不僅使學生掌握知識的方式變得靈活多樣，而且在學習過程中逐步意識到，微積分作為人類智慧的集大成者，其應用范圍正隨著時代的發展而不斷擴大，對其學習積極性有較大的提高。從學生的平時表現及期末成績兩方面綜合分析發現，教學效果比較理想。

參考文獻：

[1]顧建民，沈其娟.以教促學，推進課堂教學改革[J].中國高等教育，2013，（13）：48-49.

[2]魯鳴.正在丟失的硬能力[J].文苑，2014，（2）：57.

[3]秦宣云，李軍英.融入啟發式、探究式、討論式、參與式教學方法的高等數學課程課堂教學改革的研究與實踐[J].大學教育，2015，（5）：95-96.

[4]姜啟源.數學模型（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2018，（5）.