利用數形結合法解數學問題的研究

趙桐

【摘要】 數學是研究數量關系與空間形式的科學.其實質就是“數”與“形”的科學.隨著新課標改革的全面實施，學生能力與思維培養(yǎng)成為實際教學中的重點.數形結合思想作為數學思想最為重要的方法之一，它有機地把“數”和“形”聯系在一起，兩者之間相互聯系，相互幫助，實現解決問題的目的.本文將根據實際教學情況與新課標所提出的關于數形結合思想在數學教學的要求，系統(tǒng)地闡述數形結合思想在數學教育中重要的地位.

【關鍵詞】 數形結合;數學思想;數學方法;解題

一、相關理論概述

（一）數形結合理論

現實世界中的數量關系與空間形式是數學的兩大基本研究對象.“數”體現的是數量關系，“形”體現的是空間關系.“數”與“形”的存在形式通常是互相依存的關系，在抽象的數量關系中通常包含著直觀的幾何關系，與此同時，直觀的圖形形式也可以通過數量關系來實現描述.多種“形”的計算為“數”提供了產生的途徑，而“數”又可以通過“形”來得到計算與使用.

數形結合可以把數與形有機地統(tǒng)一起來.數形結合是貫穿于初中與高中數學中最基礎的思想方法，利用數形結合去解決問題的實質就是，在解決有關于數量的問題時，通過數量關系畫出與之相對應的幾何圖形，將其轉化為幾何形式，這就是我們通常所說的“由數畫形”.而在解答與幾何圖形相關的問題時，我們可以通過圖形特征來列舉出相對應的代數關系，將幾何圖形的問題轉化為代數的問題，也就是數學教學中常說的“由形化數”，這樣就可以通過數與形兩者相互依存的關系與自身各自的優(yōu)勢從而得到更為快捷簡便的解題方法.

在數學中，數形結合是極為重要的思想和常用的解決問題的方法.在現實解題的過程中，數形結合思想的應用非常廣泛，它為我們解答問題提供了一種嶄新的思路，通過“形”而想到“數”，根據“數”去研究“形”的各種性質，探索其中的規(guī)律.從多方面的角度來拓展學生思維的延伸性，提高學生發(fā)散思維能力，簡化解題過程，將問題化難為易.

（二）數形結合思想的重要性

隨著新課標改革的全面實施，數學教材有著前所未有的改變.在過去，“代數”與“幾何”是分為兩本教材來教授的，而在新課標發(fā)布以后，將高中的數學分成了必修與選修兩種形式，把“代數”與“幾何”綜合成為一門學科，這是現代教育者對數形結合思想的主要體現.在新課標的教材中，增添了許多新的教學內容，例如，平面向量與空間向量等，這些內容上的變革都是對數形結合重要性的深思熟慮下做的決定.此外，數形結合思想是初中數學與高中數學的重要紐帶，數形結合思想的提高可以更好地完成兩者之間的有效過渡.因為數形結合思想恰好符合學生從抽象到具體的認知規(guī)律.

（三）數形結合思想的教育意義與作用

1.數形結合思想的學習有助于學生深刻的理解相關數學概念，將數學概念進行有效整合.

數學概念的學習是學生發(fā)展數學思維的開端.學生根據數形結合思想學習數學知識，可以增強數學學習的趣味性，改變學生對數學概念枯燥無味、復雜難懂的印象.通過數形結合思想有助于加深學生對知識學習的印象.

2.數形結合思想的學習有助于學生靈活的解答問題.

數形結合思想的最顯著特點就是可以把抽象的問題形象化，它對數學問題的解答有積極導向的作用.學生通過數形結合將抽象復雜的問題通過畫出圖像，通過對幾何圖形的觀察與分析使煩瑣的推理過程簡單化.它為學生解答問題提供了更為簡單的途徑.

3.數形結合思想有助于發(fā)展學生的思維能力.

當學生對圖形特征和代數性質相互結合進行分析時，思維能力發(fā)揮了其主導性作用.在把代數問題轉化為幾何問題時，需要綜合利用形象思維能力和創(chuàng)造性思維.這是數形結合思想的顯著體現.在當代數學學習中，數形結合思想不僅是學生解答問題的實用工具，也為學生創(chuàng)造性思維發(fā)展提供了基礎.

二、數形結合思想在高中數學解題中的應用

（一）數形結合思想在集合問題中的應用

數形結合思想在集合問題中的應用一般有以下幾種情況：

例1?? 已知集合A={x||x-2|≤a}，B={x|x2-5x+4≥0}.若A∩B=，則實數a的取值范圍是多少？

解? 當a<0時，A=，顯然A∩B=.

當a≥0時，A≠，

A={x||x-2|≤a}={x|2-a≤x≤2+a}，

B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，

由A∩B=，畫出示意圖如圖1所示，

得 2-a>1，2+a<4，a≥0，

解得0≤a≤1.

綜上所述，a的取值范圍為{a|a<1，a∈ R }.

例2?? 設全集U= x∈ Z?? 6 x+1 ≥1? ，M∩N={1，2}，CU（M∪N）={0}，（CUM）∩N={4，5}，則M= .

解 ?由 6 x+1 ≥1，得 6 x+1 -1≥0，即 x-5 x+1 ≤0，

解得-1

因為x∈ Z ，所以U={0，1，2，3，4，5}.

如圖2所示，在韋恩圖中分別表示出已知集合中的元素，

由M∩N={1，2}，可知1∈M，1∈N，2∈M，2∈N;

由CU（M∪N）={0}，可知0M∪N，所以0M，0N，

且M∪N={1，2，3，4，5};由（CUM）∩N={4，5}，

可知4M，4∈N，5M，5∈N，

從而N={1，2，4，5}，M={1，2，3}.

根據數形結合思想在集合問題中的應用，不僅便于解決有關集合的交、并、補的問題，還可將直觀形象的幾何圖形和數量關系充分地結合在一起，清晰地表現出問題中所給出的條件與結論間的相關聯系，進而達到化煩瑣為簡單、化困難為容易的目的，從而幫助學生解答更多困難復雜的問題.