基于正切問題情境創設的思考

摘 要：隨著新課改的推進，現今的課堂上已經不再像以前那樣刻板的教師講、學生聽，而是出現了很多教學模式。因此初中的數學課堂也根據課程標準要求創設生動具體的學習情境，讓學生主動地學習數學。本文闡述了蘇科版數學九年級下冊《7.1正切》是銳角三角函數的第一課如何創設情境。

關鍵詞：九年級數學；銳角三角函數；創設情境

《數學課程標準》明確指出：數學教學要緊密聯系學生的實際，從學生的生活經驗和已有的知識出發，創設生動具體的學習情境，讓學生在觀察、操作、猜測、驗證、交流、反思等活動中逐步體會數學知識的產生、形成和發展的過程。蘇科版數學九年級下冊《7.1正切》是銳角三角函數的第一課，對學生后續三角函數概念的學習也至關重要，要使學生真正理解正切的定義，就應該合理創設情境，注重知識發生發展的過程，從實際生活經驗直觀感受，再抽象到數學圖形，通過嚴密的思維探究出正切的定義。所以在進行教學時，應由實際生活中學生所熟知的實例引入，層層深入引導對臺階的傾斜程度的判斷，讓學生感受傾斜角的大小也可以由鉛垂距離與水平距離的比值來判斷，初步體會角與邊的比值間的聯系。

筆者在第一次上這節課時，按照書上的步驟進行探究，但是在實際教學中發現，學生并不能很快想到用鉛垂距離和水平距離的比值來描述角度的大小，學生的探究也比較生硬，甚至不能得到自己預設的結果。下面就這節課的情境創設談談教材的意圖和自己的想法。

首先，書上呈現了一張關于臺階的圖片，提問：從數學的角度看臺階，其中有哪些熟悉的幾何圖形？目的是把生活實際抽象成數學圖形。接著，觀察與思考提出的三個問題：

1. 圖中哪個臺階更陡？

問題1的設計意圖是讓學生通過生活經驗直觀判斷哪個臺階更陡？筆者認為應該再追加一個問題：你是如何判斷的？目的是讓學生認識到臺階的陡緩與坡面及地面的夾角大小有關，夾角的大小可以用來描述臺階的傾斜程度。但是問題2的意圖是通過直角三角形的邊來判斷臺階的陡緩，由問題1過渡到問題2顯得特別生硬，可設置問題：如果我們身邊沒有測量角度的儀器，那么我們該如何判斷呢？一個三角形我們除了研究內角外，還要研究什么呢？這樣順利將思考方向引向直角三角形的邊。

2. 圖中哪個臺階最陡？你是如何判斷的？

問題2和問題1的區別在于添加了直角三角形直角邊的長度，顯然可以看出前兩個三角形的水平距離相等，鉛垂距離不同，鉛垂距離越大坡度越陡；后兩個三角形的鉛垂距離相等，水平距離不同，水平距離越小，坡度越陡。設計意圖是：比較直角三角形直角邊長大小的過程中引導學生認識到臺階的陡緩與直角邊有關。但是問題2仍然只是通過簡單的邊長大小比較判斷坡度的陡緩，如果兩個三角形的水平距離和鉛垂距離都不相等，又該如何判斷呢？

3. 比較圖中的兩個臺階，你有什么發現？

問題3的提出引發學生的認知沖突，兩個直角三角形的水平距離和鉛垂距離都不相同，前面的經驗不夠用了。部分學生會直觀判斷兩個臺階一樣陡，但是說不出原因，這樣教學就很難進行下去。這時可提問：我們數學經常用轉化思想，把未知的化為已知的，那么能把兩個三角形不相等的直角邊轉化成相等的嗎？學生就會想到把第一個三角形擴大3倍，把第二個三角形擴大2倍，發現它們的水平距離相等，鉛垂距離也相等，所以兩個坡一樣陡，也就是兩個三角形的夾角一樣大，這說明夾角的大小與直角三角形的兩條直角邊有關。

但是夾角到底與兩條直角邊有什么關系呢？學生往往想不到坡面的陡緩與夾角的對邊與鄰邊的比值有關。直接告訴學生結論就失去了前面探究的價值。因此可設置如下問題：（1）放大后的圖形與放大前的圖形有什么關系？學生用兩組對應邊成比例且夾角相等可證得兩個三角形相似。（2）兩個直角三角形的斜邊傾斜程度一樣嗎？為什么？通過相似可得到對應的夾角相等，因此傾斜程度一樣，由此可以看出臺階的傾斜程度與鉛垂距離和水平距離的比有關。（3）直角三角形中邊的比值隨著銳角的變化而變化，隨著銳角的確定而確定，這種關系是我們以前學過的什么關系呢？進而從函數角度理解正切的概念。

實踐證明，做一個優秀的數學教師一定要吃透教材，但又不能被教材牽著鼻子走，要善于挖掘教材，根據學生的實際水平層層遞進創設情境，才能找到合適的最優化教學方法。

作者簡介：顧政偉，江蘇省蘇州市，吳中區臨湖第一中學。