平面鏡夾角成像探究

崔善欣 崔善良

摘 要 平面鏡成像遵循的基本規(guī)律是光的反射定律，成正立、等大的虛像。學習中發(fā)現(xiàn)有一類特殊的成像——平面鏡夾角成像問題。初步探究發(fā)現(xiàn)，將兩個平面鏡成一定夾角放置時，在兩平面鏡前放置一個物體，在兩個平面鏡中可以觀察到物體所成的像的個數(shù)不是固定的，成像個數(shù)與兩平面鏡的夾角之間存在非常有趣的規(guī)律性。下面，我僅對就平面鏡夾角成像的規(guī)律做簡要分析。

關鍵詞 平面鏡成像 規(guī)律探究

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A

ABCD為一平面鏡，在其中心的正上方h處有一物點A，則據(jù)平面鏡成像原理可得，S通過平面鏡ABCD所成的像S對稱地分布在平面鏡下方距平面鏡h處。

現(xiàn)在，把平面鏡ABCD沿中線OO切開，裝上一可自由折疊的絞鏈，平面鏡AOOD和平面鏡OBCO為固定轉(zhuǎn)動軸自由轉(zhuǎn)動，且規(guī)定SO始終在兩平面鏡所夾二面角的角分線上，AO、BO向上對稱的折疊而物點S不動，在這種變化下，在S點觀察S所成的像，會發(fā)生怎樣的變化呢？有沒有規(guī)律可循呢？

我們先來的研究AO和BO向下折的情形，此時∠AOB大于 ，S點發(fā)出的光線通過平面鏡反射后全被平面鏡AO和BO反射出去，不會返回到S點，即在S處觀察不到S的像，亦即∠AOB大于 時，在S點觀察到像的個數(shù)為零。

當∠AOB= 時，能觀察到一個S的像。

當AO和BO向上偏折，∠AOB小于 時，情況又會如何呢？

S發(fā)出的光線垂直面鏡OA的光線被返回，S可觀察平面鏡OA所成的像SA，同理，還可觀察到平面鏡OB所成的像SB，因此，在此狀態(tài)下，在S點可通過平面鏡看到S的兩個像SA和SB。這兩個像可以看作是原來的一個像S隨平面鏡OA和OB的夾角∠AOB的減小而分離得到的。

下面，我們看一下當面鏡繼續(xù)折疊，∠AOB等于2 /3時成像的情形。

當∠SAS SB= /3時，△SAS SB為正三角形，也就是當∠AOB等于2 /3時，物像分布在正三角形的三個頂點上，隨鏡的夾角的減小，SA和SB間距離進一步拉開，那么，當∠AOB減小于 /2時，情況又如何呢？

當∠AOB= /2，此時，S通過面鏡OA、OB所成的像分別為SA、SB，除此之外，SA通過面鏡OB又可以成像S，同理，SB通過平面鏡OA也可以成像，根據(jù)平面鏡成像作圖發(fā)現(xiàn)，此時這兩個像呈在同一位置。在S點，此時只能觀察到SA、SB和S三個像，且物像分布在同一正方開的四個頂點上，非常規(guī)則。隨兩平面鏡OA和OB的繼續(xù)折疊，S分裂為兩個像且逐漸離開，當∠AOB達到2 /5時，則物像又呈現(xiàn)規(guī)則圖形。

此時，通過平面鏡OA可以看到SA和SB在OA中成的像SB，通過平面鏡OB可以看到SB和SA在OB中成的像SA。因此，此時可以看到四個S的像，且這四個像和S均勻分布在正五邊開的五個頂點上。當∠AOB繼續(xù)減小時，像SA和SB繼續(xù)分開，當∠AOB等于 /3時，此時通過平面鏡OA可以看到SA、SB在OA中成的像SB和SA在OA中成的像SA，通過平面鏡OB可以看到SB、SA在OB中成的像SA和SB在OB中成的像SB，此時據(jù)平面鏡作圖發(fā)現(xiàn)，SA和SB是重合的，因而此時可以看到五個像，此時物像均勻分布在正六邊形的六個頂點上。

當∠AOB繼續(xù)減小時，像SA和SB分離。

由以上列舉的幾種情形可以看出，隨平面鏡OA和OB間夾角的變化，像的個數(shù)分布呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，下面作簡細分析：

當兩面鏡的夾角為 時，像為1個，當夾角小于 時，則像由1個變?yōu)閮蓚€，隨著兩面鏡夾角的減小，兩個像逐漸遠離，當∠AOB= /2時，出現(xiàn)第三個像，當∠AOB< /2時，第三個像分開成為兩個，隨∠AOB的減小，第三四個像又逐漸遠離，∠AOB=2 /5時，出現(xiàn)第五個像，下面列表總結(jié)一下成像與夾角的關系。

成像個數(shù)、物像形狀與兩平面鏡夾角的關系。（注 即∠AOB）

由上表可以看出，成像個數(shù)與兩平面鏡夾角間存在規(guī)律性變化，下面用簡單的數(shù)字把這種規(guī)律性呈現(xiàn)出來，即：

夾角 ： 2 /3 2 /4 2 /5 2 /6 2 /7……

像的個數(shù)：1 2 3 4 5 6

列出以下對應關系的通項為：

（n+1）=2

n+1=2 /

n=2 / -1

注意到這里n是像的個數(shù)，只能是整數(shù)，而本式是由特殊情況（ 能被2 整除）得出的，對于 不能被2 整除時，該式顯然不成立，因為此時所得n的數(shù)值為小數(shù)，不符合成像規(guī)律。經(jīng)過研究成像規(guī)律及列表看到，當物S通過兩平面鏡成像個數(shù)為奇數(shù)時，僅在 為某一特殊值時成立，而在過渡階段所成像的個數(shù)都為偶數(shù)，故而，我們只需對上式中當n取小數(shù)時加以規(guī)范即可：

即：n=2 / -1 當n為小數(shù)時，取最接近它的偶數(shù)。

利用本式，只要知道了兩平面鏡間的夾角，即可求出S成像的個數(shù)。當 能被2 整除時還可判斷出物像組成的規(guī)則形狀。