巧用圖像特征解高中數(shù)學(xué)函數(shù)題

摘要：高中數(shù)學(xué)題目的抽象性導(dǎo)致其解題難度明顯地增加了，在實際解題的過程中，多選擇數(shù)形結(jié)合的方法，能夠降低解題的難度。結(jié)合函數(shù)圖像來解題，不僅能夠提高解題效率，還能夠培養(yǎng)自身的邏輯思維能力。本文以高中函數(shù)解題中圖像特征的應(yīng)用為主要研究內(nèi)容，通過幾個典型的例題分析，對其具體應(yīng)用思想進(jìn)行介紹，以期能夠加深高中生對圖像特征解題的認(rèn)識。

關(guān)鍵詞：圖像特征;高中;數(shù)學(xué);函數(shù)

在高中階段的函數(shù)解題過程中，為降低題目的難度，提高解題的效率，我們多采用數(shù)形結(jié)合這一方法解題，在此過程中，需要明確圖像與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，從而保證解題過程的正確。

一、圖像特征與函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)的根

函數(shù)最為重要的參數(shù)就是定義區(qū)間，尤其是對于三角函數(shù)來說，為避免范圍的擴大，多選擇定義區(qū)間內(nèi)的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行研究。因此，在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，通過數(shù)形轉(zhuǎn)換的方式，結(jié)合圖像特征對函數(shù)進(jìn)行描述，能夠有效地提高解題效率。

例1：方程sin2x=sinx，x∈（-∞，+∞），求在區(qū)間[0，2π]上，該方程的解的個數(shù)。

解析：通常來講，我們求方程解的個數(shù)，除需要結(jié)合定義區(qū)間之外，還要通過判定公式確定其根的個數(shù)。但是，這里的方程sin2x=sinx并不是通用方程，因此，無法通過常規(guī)的判定公式來進(jìn)行求解。此時，我們就可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，其中sin2x與sinx在同一平面直角坐標(biāo)系中，通過判定區(qū)間[0，2π]內(nèi)兩者交點的個數(shù)，即可得sin2x=sinx的解的個數(shù)。

解：令y1=sin2x;y2=sinx，在平面直角坐標(biāo)系中繪制y1、y2在區(qū)間[0，2π]中的圖像如圖1所示：

由此可以看出，在區(qū)間[0，2π]內(nèi)，曲線y1與y2共有5個交點。

即：方程sin2x=sinx在區(qū)間[0，2π]內(nèi)解的個數(shù)為5。

二、圖像特征在函數(shù)最值中的應(yīng)用

在眾多的函數(shù)題目當(dāng)中，能夠通過圖像特征解題的還有函數(shù)的最值，在實際解題的過程中，利用函數(shù)圖像能夠大大地減少解題的步驟，進(jìn)而提高解題效率。

例2：在平面直角坐標(biāo)系中，有三個點A、B、C，三點坐標(biāo)分別為（1，m+2）、（m+1，5）、（m+2，m+3），且m>0，其中，A、B、C為由右至左一次排列，如果|AB|+|BC|的值最小，那么，A、B、C坐標(biāo)中對應(yīng)的m值應(yīng)當(dāng)是多少？

解析：在該題目中，應(yīng)用常規(guī)解題方法，則需要進(jìn)行如下計算：

直接對d的最小值進(jìn)行計算，難度較大，且需要進(jìn)行一系列的驗證。因此，不宜使用常規(guī)方法，而采取圖像特征法解題，能夠降低題目的難度。

解：如圖2所示：

由圖可得，A、B、C三點之間的連線距離最短，此時應(yīng)保證B點在線段AC的連線上，也就是線段AB與線段AC的斜率相同，由此可以得到以下關(guān)系式：

其中，kAB=kBC，即 。

經(jīng)計算得m1=1或m2=-，由于m>0，因此，滿足條件的只有m=1。

三、圖像特征在函數(shù)證明題中的應(yīng)用

證明題由于給出的已知條件有限，大多數(shù)條件都需要通過變形、轉(zhuǎn)換、代入等方式獲得，因此，證明題的解題技巧使用得較為靈活，其中也包括了圖像特征。

例3：已知0

解析：由題目中的已知條件可以看出，該題目能夠利用的信息極為有限，證明不等式需要考慮的影響因素較多。所以，這里需要進(jìn)行已知條件的轉(zhuǎn)換，并在轉(zhuǎn)換過程中結(jié)合數(shù)形關(guān)系，從而求證。

解：設(shè)輔助函數(shù)f（a）=a-a2，通過變形后可得：

根據(jù)該函數(shù)可知，其對稱軸為，最大值為，在區(qū)間（，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且b

即：，化簡后得 。

由于 ，所以，。

四、總結(jié)

在高中函數(shù)的解題過程中，圖像特征是一種常用的方法，在利用數(shù)形結(jié)合的同時，結(jié)合函數(shù)圖像的基本性質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)題目中各種已知條件與問題之間所存在的規(guī)律。然而，圖像特征的適用具有一定的前提條件，對于作圖難度較大的題目來說，則不適用于此方法。因此，在函數(shù)解題的過程中，我們還應(yīng)當(dāng)分析圖像特征這一方法的應(yīng)用前提。

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作者簡介：陳嘉鋮（2001.4）男，民族：漢，學(xué)校：河南省實驗文博學(xué)校。