“約數”vs“因數”

沈于芹

[摘 要]在數學中，對于某些概念，會使用不同的專有名詞來描述，雖然這些專有名詞指代的對象相同，意義也很接近，但傳達的具體數學信息卻存在差別，在關鍵時候，這些不同的叫法會帶來不同的理解方式。

[關鍵詞]整除;因數;概念;倍數;乘法;除法

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0069-01

自教材改編以來，關于“約數”和“因數”用法的爭論一直未曾消停。反方觀點認為，新教材改編得不妥，因為隨意修改專有名詞，會混淆視聽、擾亂思維;正方觀點認為，因為“因數”一詞合并了“乘數”和“約數”兩個概念，這樣一改反倒減輕了學生的學習負擔。雙方各執一詞，相持不下。教參上給出的解釋是，“為了克服一個教學單元內概念扎堆出現的現象，新教材中對‘整除這一概念不再明確定義，并把舊教材中的‘約數改為‘因數，這樣一來，派生約數概念的整除概念就可以不必出現。”那么，“約數”改為“因數”到底有無必要？

一、整除引申因數令人費解

在舊教材中，約數、因數和倍數這一系列的概念全部隸屬于整除單元。教材首先揭示整除的概念：整數a除以整數b，所得的商數也為整數，沒有余數，這時就稱a能被b整除。如果整a能被整數b整除，此時，我們就說a是b的倍數，b是a的約數（或因數）。由此可見，約數是建立在整除概念基礎上的。

在人教版新教材五年級下冊第二章中，“因數和倍數”屬于單元主標題，教材通過飛機航程的情境，用一個乘法算式“2[×]6=12”直接揭示因數和倍數的關系：12是2和6的倍數，2和6是12的因數。實際上，這是在暗示學生，被乘數和乘數是積的因數，積是被乘數和乘數的倍數。然后，教材還特別指出，為了便于描述和研究，討論因數和倍數的時候，一般默認在整數范圍內。

說到這里，事實已經很明確了，舊教材是從除法入手，先揭示什么是整除，然后在整除的概念下派生出約數;而新教材則是從乘法算式切題，直接陳述何為因數、何為倍數。既然兩種方法都可行，在效果一樣的前提下，用整除概念來引出“約數”邏輯程序相對煩瑣，其間還要辨別“整除”和“除盡”的異同，以及在整數范圍內的限定，無疑增大了學生的理解難度。兩相對照，新教材的安排似乎更恰當。

二、拋開整除也能找全因數

有人說，新教材中“整除”“約數”這些專屬名詞的滅失導致數學學習脫離了傳統經典。筆者認為，刪減“整除”和“約數”這些學術性很強的名詞之后，學生照樣能學通“因數和倍數”這部分知識，說明這些專屬名詞已經失去了原有的價值。

那么，整除概念還該不該出現？新教材從乘法算式中揭示出因數、倍數的概念，刪減了整除的講授，這樣一來，尋找某個數的因數時，學生進行的思維過程是回憶原數等于哪兩個整數的乘積，那么所有的被乘數和乘數就都是原數的因數。原數較小時，因數比較容易找，一旦原數過大，尋找因數就很困難了，如果要列舉全部因數更是難上加難，容易遺漏或重復。此時如果采用整除法定義來尋找因數，就十分便捷。學生可以用原數依次除以自然數1、2、3……若能被整除，那么除數和商就都是原數的因數，反之，就可以立即排除。

筆者認為，要想迅速找出一個數的所有因數，用乘法相對盲目，用除法才能做到簡便、準確、有序。可是問題又來了，難道用除法來找因數，就必須提到“數的整除”這一復雜的概念嗎？經過實踐，筆者發現其實不講整除，學生也能很好應用除法找因數。

三、要明辨因數的雙重含義

有人問，如何準確把握“因數”概念？由于新教材里的“因數”具有雙重含義，既可以理解為整除概念派生出的約數，又可以理解為乘法算式中的被乘數和乘數。這樣一來，就會出現一種悖論，如，判斷“在2[×]3=6中，2是因數”時，大部分人認為這是錯的，理由是因數和倍數彼此依存，只能說兩個數互為因倍數，或者說其中一個數是另一個數的因數（倍數），單獨說誰是因數（倍數）存在邏輯漏洞。但也有人持相反觀點，認為這道題是正確的，理由是在這道乘法算式中，2是被乘數，被乘數就是因數，所以2是因數毫無破綻。他們還拿除法類比，例如，在除法算式6[÷]2=3中，說2是除數也沒有不妥，那么究竟如何決斷？

然而，在舊教材中就不會出現這樣的悖論。如，判斷“在2[×]3=6中，2是約數”，這種說法毫無根據，因為約數是在整除概念下誕生的，一提到約數，必會聯想到整除，進而想到倍數，想起約數和倍數是相互依存的。若判斷“在2[×]3=6中，2是因數”，一般人肯定會依據算式表達的數量關系來斷定其為正確，此時無須想到整除。但我認為，姑且不論這道判斷題是否有意義，無論是新教材還是舊教材，都應判斷為對，因為這里的“因數”具有雙重含義，在沒有明確說明語境時，只要符合一種含義就行。打一個通俗的比方：李芳媽媽、李芳、李芳女兒三人在一起，此時李芳就有雙重身份——媽媽和女兒，說李芳是女兒難道不對嗎？

總之，筆者以為，在“因數和倍數”這部分知識中，新教材的做法比較好，因為它簡單直接、節奏明快，不像舊教材會牽涉一些生澀難懂的專屬名詞，學生很輕松就能學到這部分知識！

（責編 李琪琦）