高的不準(zhǔn)確定義和科學(xué)教學(xué)法

杜才峰

[摘 要]為了符合小學(xué)生的認(rèn)知水平，很多小學(xué)數(shù)學(xué)概念都是簡(jiǎn)化過的。以“高”的定義為例，對(duì)教材給出的定義以及教師的教學(xué)進(jìn)行分析論述，并給出可行的教學(xué)方法。

[關(guān)鍵詞]高;定義;科學(xué);教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）08-0020-02

數(shù)學(xué)概念必須是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，文字表述也必須滴水不漏，但為了符合小學(xué)生的認(rèn)知水平，很多小學(xué)數(shù)學(xué)概念都是簡(jiǎn)化過的，直到初中才得到補(bǔ)充完善，但是，經(jīng)過簡(jiǎn)化的表述并不意味著就可以漏洞百出。

在一次教研活動(dòng)中，有一節(jié)“三角形的認(rèn)識(shí)”的展示課。在引導(dǎo)學(xué)生了解“高”時(shí)，授課教師是這樣設(shè)置情境的：有一只小蝸牛想從A點(diǎn)爬到BC邊上去，走哪條路線最近？

乍一看，帶有童話色彩的故事能讓學(xué)生瞬間產(chǎn)生濃厚興趣，而且沒有直接提出高的概念，而是將其放到垂線的總概念中，用另一種語言間接提出“點(diǎn)到直線之間垂直線段最短”，讓學(xué)生找出最短路線就是間接畫出高。返校后，筆者仔細(xì)回想了這節(jié)課，將前后細(xì)節(jié)仔細(xì)琢磨一番，發(fā)現(xiàn)其中存在不少問題。

一、小學(xué)教材里高線定義中的漏洞

如果是在銳角三角形、直角三角形中，高線就是頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線段，即是最短路線，這樣描述并無不妥，但是如果換成鈍角三角形，銳角頂點(diǎn)到對(duì)邊的高線在三角形外面，此時(shí)沿著高線只能到達(dá)對(duì)邊的延長(zhǎng)線，無法抵達(dá)對(duì)邊，此時(shí)仍沿用這一說法就不可行。如果此時(shí)蝸牛還要爬到對(duì)邊上，最佳路線還是高線嗎？如果仍然沿著高線爬行，還能順利抵達(dá)對(duì)邊嗎？懷著諸多疑惑，筆者翻開課本。課本上對(duì)“高”的描述是這樣的：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊畫一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高。

所謂“對(duì)邊”，即是一條邊，邊有長(zhǎng)度，應(yīng)該是線段，但是也可能出現(xiàn)意外的情況：那就是從頂點(diǎn)出發(fā)作垂線，垂足不一定在線段上，也可能在線段所在的直線上，此時(shí)就超出了概念前半句題設(shè)部分默認(rèn)的條件。眾所周知，鈍角三角形有兩條高在三角形外部。那教材為何這樣草率下結(jié)論？配套的教師用書給出這樣的解釋：需要注意鈍角三角形兩個(gè)銳角夾的高在對(duì)應(yīng)邊的延長(zhǎng)線上留下垂足，這種特殊情形對(duì)學(xué)生不作要求。既然小學(xué)不作要求，那么初中又是如何規(guī)定高線的呢？初中課本是這樣定義高的：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高。

看到初中版的定義后，筆者茅塞頓開。因?yàn)?，如果僅僅說從頂點(diǎn)出發(fā)向?qū)叜嫺撸瑫?huì)引起誤解——高線的垂足一定要落在對(duì)邊上，即使教師申明可以考慮“延長(zhǎng)”，學(xué)生也會(huì)質(zhì)疑：線段明明不能延長(zhǎng)，怎么又延長(zhǎng)？而初中的文本表述改為“所在的直線”一說，則把對(duì)邊的線段屬性擴(kuò)充到直線，于是釋放出強(qiáng)烈的信號(hào)：高可以是在三角形外面。這樣“線段不能延長(zhǎng)”的質(zhì)疑也就不復(fù)存在?？梢姡W(xué)課本中對(duì)三角形的高的定義是有漏洞的。

二、借已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)“高”

學(xué)生在接觸三角形的高之前，已經(jīng)掌握了“在所有連接點(diǎn)到直線的線段中，垂線段最短”“平行線之間夾的垂線段處處等長(zhǎng)”“平行四邊形兩對(duì)邊所夾的任意一條垂線段都可視為平行四邊形的高”等推論，利用這些推論已經(jīng)可以很好地詮釋三角形的高。

[教學(xué)方法1]

1.過已知直線BC外一點(diǎn)A作該直線的垂線，垂足為D。

2.過已知直線BC外一點(diǎn)A作該直線的平行線。

3.在已知直線上取兩點(diǎn)B、C，連接AB，AC。

4.在直線BC的平行線上移動(dòng)點(diǎn)A至A[′]，連接A[′]B和A[′]C，使A[′]B正好垂直于直線BC，此時(shí)，[△]A[′]BC為直角三角形，BC邊上的高恰好就是直角邊A[′]B。

5.繼續(xù)移動(dòng)點(diǎn)A[′]到A[″]，連接A[″]B和A[″]C，使∠A[″]BC為鈍角，那么△A[″]BC為鈍角三角形，此時(shí)BC邊上的高是點(diǎn)A[″]到線段BC所在直線的垂線段。

通過移動(dòng)頂點(diǎn)，學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)到三角形的高的本質(zhì)就是點(diǎn)到直線的一條垂線段。

三角形的高，通俗講就是三角形立起的高度，只是“高度”這個(gè)形象的生活語言到數(shù)學(xué)里就變得很專業(yè)。基于這種認(rèn)識(shí)，不妨將三角形的高與生活中物體直立的高度關(guān)聯(lián)起來，將人體身高作為揭示三角形“髙”的表象支撐。三角形的高與人體高度有著本質(zhì)的相同：兩者都可看成制高點(diǎn)到水平線的鉛錘距離?；谶@一相同點(diǎn)，可以利用人體身高實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。

[教學(xué)方法2]

1.回想生活經(jīng)驗(yàn)，重新認(rèn)識(shí)“高度”。

比較兩位同學(xué)的身高，談一談比身高時(shí)的注意事項(xiàng)。

2.將三角形的高比擬成人的身高，樹立三角形的高的生活形象。

（1）△ABC與△EFG一較高低，△EFG覺得自己與△ABC一樣高，△ABC堅(jiān)決抗訴，要求對(duì)齊頂點(diǎn)再來比較。

（2）于是，△EFG踮起腳尖，讓自己的頭頂和△ABC的頭頂齊平，這時(shí)△ABC發(fā)表聲明，高必須是頂點(diǎn)到底邊的垂線段，不是其他線段。

[頂點(diǎn)][底][高]

（3）如果是從頂點(diǎn)到底邊，無論三角形怎么站位，都能準(zhǔn)確找到它的高。

三、借助物理科學(xué)現(xiàn)象理解“高”

“自由落體”是一種物理現(xiàn)象，其運(yùn)算公式又含有數(shù)學(xué)定理，其垂落的路線是豎直向下的。利用這一物理現(xiàn)象，也可以幫助學(xué)生理解三角形的高。

[教學(xué)方法3]

1.觀察自由落體實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，試著描述物體自由落地有什么特點(diǎn)。

2.如果把三角形底邊看成水平地面，把頂點(diǎn)看成落點(diǎn)，那么物體下落后的軌線是怎樣的？

3.分析鈍角三角形中銳角所夾的高線處于三角形什么位置。

4.概括三角形的高的定義。

鈍角三角形兩銳角所夾的高，雖然課本不作要求，但是計(jì)算三角形面積時(shí)不可避免，再者，只要講解得法，學(xué)生完全可以理解。因此，筆者強(qiáng)烈建議，在定義三角形的高線時(shí)，將“對(duì)邊”的表述換成“對(duì)邊所在的直線”更科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。

（責(zé)編 金 鈴）