TSP問題及其應用綜述

林沐霖　何茂森　朱俊明

摘 要 TSP是數學領域內一道著名的難題之一，如何求解一直是學術界研究的熱點問題。本文首先闡述了TSP問題的基本概念，介紹了TSP問題的一般描述及數學模型，然后歸納了現有對TSP問題求解的較為有效的方法—蟻群算法和遺傳算法，最后闡述了TSP的應用領域。

關鍵詞 TSP 遺傳算法 蟻群算法

中圖分類號：TP301.6 文獻標識碼：A

1 TSP問題的基本概念

TSP（Traveling Salesman Problem）問題，可譯為旅行商問題，是數學領域中著名的組合優化類難題之一。

1.1 TSP問題的描述

現有對TSP問題的標準描述為：已知有城市數量為，一位旅行商人從其中的某一個城市出發，途中需要經過所有的城市，但經過的次數有且僅有一次，最后再回到出發的城市，怎樣規劃路線才能使旅行商所走的路線最短。

1.2 TSP問題的數學模型

設城市集合為V={v1，v2，…，vA}，對城市的訪問順序為T={t1，t2，…，tA}，其中ti=V（i=1，…A），而且ti+1=t1，則問題的目標函數如下：

意為目標函數的最優值為所有途徑城市之間的路徑和最短。

1.3 TSP問題的分類

從上述描述中可以看出TSP問題即是在若干城市或地點之間尋找一條回路，根據vi→vi+1與vi+1→vi的距離是否相當，可以將TSP問題分為對稱TSP問題和非對稱TSP問題。

2 TSP問題的求解方法

TSP問題已經被證明是一個NP-hard問題，即在P≠NP的假設下，找不到一個多項式時間算法來求解其最優解。TSP問題很容易被描述清楚，但是卻較難找到合適的求解算法，自1932年TSP問題出現以來，已經有諸多學者在研究相關領域的問題，但至今仍為找到有效的方法。

曾經傳統的經典優化算法經常被用來求解TSP問題的解，但是當城市數量較大時，就難以快速找到最優解。隨著人工智能的發展，出現了許多獨立于問題的獨立算法，如蟻群算法、粒子群算法、遺傳算法、魚群算法、狼群算法等等。這些算法通過模擬自然界的某些現象而得出求解復雜問題的新思路和新方法。在優化領域，這類算法的由于其很好的收斂性和有效性而被廣泛使用。

2.1蟻群算法求解TSP問題

蟻群算法最初是通過對螞蟻群落的觀察，受蟻群行為特征啟發而得出的。螞蟻是一種群居昆蟲，在覓食、清理巢穴等活動中，彼此依賴、相互協作共同完成特定的任務。就個體來講，單個螞蟻的智力和體力是極其有限的，服務于整個群落的生存與發展；就群體來講，蟻群在行為上的分工協作、在完成任務過程中所體現的自組織特征等反應出蟻群具有較高的智能和自我管理能力，具有很高層次組織性，這使得蟻群能夠完成一些復雜的任務。

蟻群的特點是并發性、魯棒性、正反饋性等。在蟻群算法求解問題的過程中，利用蟻群在問題空間中同時構造問題的多個解體現了算法的并發性。蟻群不會因為單個螞蟻尋找到較差的解或者因為問題空間發生改變而使得算法喪失作用。這體現了魯棒性。在螞蟻構造問題解的過程中，以蟻群覓食行為為例，會在經過的解的路上釋放信息素，而解空間中活得信息素越多的路徑，對螞蟻的吸引力就越大，使更多的螞蟻經過該路徑并進一步在上面釋放信息素，這體現了算法的正反饋性。

矯德強等人使用非線性尋優算法增強蟻群算法的局部搜索能力，鄭旭峰等人使用K-means聚類算法提高蟻群算法精度等，改進了蟻群算法的收斂速度及容易陷入局部最優解的問題，并將其應用在TSP問題中。

2.2遺傳算法求解TSP問題

遺傳算法的概念是由Holland于1973年受生物進化論的啟發而首次提出的，它是一種通過模擬生物界自然選擇和遺傳機制的隨機搜索算法。

遺傳算法是一種比較通用的優化算法，編碼技術和遺傳操作比較簡單，主要操作有選擇、交叉和變異。根據TSP的目的，只是求最短路徑，而傳統解法非常在意得到路徑的過程，遺傳算法直接將目標指向距離最短，因此能較快地得到問題的答案。

3 TSP問題的應用領域

3.1 TSP在物流配送中的應用

物流配送是指從貨運總公司出發，將貨物沿途送到指定的各個分公司，最后返回總公司的配送路線。此類問題是在一個平面區域內對所有點的遍歷問題，即選擇一條閉合線路可以覆蓋所有點，并使得路線在某種條件下達到最優，符合TSP問題的數學模式，可以將其應用于此類問題中。

3.2 TSP在機器人路徑規劃中的應用

機器人的路徑規劃問題主要是找到一條從出發點到目標點的最佳或次佳路徑，或是在盡可能短的時間內游歷盡可能多的目標點，類似于傳統的TSP問題，因此同樣可以采用TSP問題的方法進行求解。

參考文獻

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