著名的數學問題

張澤玲

數學是美麗的，在不知不覺中，你們已經欣賞完美麗的大圖，看完了最美的公式，讀完了各種應用如此完美的定理，有些同學還覺得不夠味？貓哥只能祭出大招，出幾個難題考考你們了。以下是數學中非常著名的四個問題，每一個都十分有意思，同學們可以嘗試著解一解，或者找個同學互相考一考對方。大家討論完之后，歡迎到微信公眾號“課堂內外的日常”中尋找問題答案。當然，如果同學們有什么話要對編輯部的小編們說，請積極留言，或將你的問題寄往編輯部。

Q1

小城里的理發師放出豪言：他只為，而且一定要為，城里所有不為自己刮胡子的人刮胡子。那么問題來了：理發師該為自己刮胡子嗎？

如果他為自己刮胡子，那么按照他的豪言“只為城里所有不為自己刮胡子的人刮胡子”，他不應該為自己刮胡子;但如果他不為自己刮胡子，同樣按照他的豪言“一定要為城里所有不為自己刮胡子的人刮胡子”他又應該為自己刮胡子。

聰明的同學們，你能解決這其中的矛盾嗎？

Q2

古希臘哲學家芝諾是一個非常有意思的人，他提出了一系列看起來非常荒謬，但分析過程看起來有十分合理的結論，其中最有名的兩個是：

（1）阿基里斯（Achilles）是希臘神話中的勇士，體力過人，善于奔跑。如果阿基里斯與烏龜賽跑，只要讓烏龜先爬一段路，阿基里斯就不可能追上。理由是：每當阿基里斯追到烏龜先前所在的位置時，烏龜總是又往前爬了一段……這個過程無法窮盡，故而阿基里斯不可能追上烏龜。

（2）一支飛行的箭是靜止的。由于每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處于運動狀態。

很明顯這些結論都是錯誤的，但是你能指出推理過程又有什么錯誤嗎？

Q3

警方逮捕甲、乙兩名嫌疑犯，但沒有足夠證據指控二人有罪。于是警方分開囚禁嫌疑犯禁止他們串供，分別和二人見面，并向雙方提供以下相同的選擇：

若一人認罪并作證揭發對方（“背叛”對方），而對方保持沉默，此人將即時獲釋，沉默者將判監10年。

若二人都保持沉默（互相“合作”），則二人同樣判監半年。

若二人都互相檢舉（互相“背叛”），則二人同樣判監5年。

用表格概述如下：

請各位同學分析一下，兩位嫌疑犯最終最可能獲得多少刑期呢？

Q4

一所美國大學的法學院和商學院。新學期招生數據如下：

根據上面兩個表格來看，女生在兩個學院都被優先錄取，即女生的錄取比率較高。現在將兩學院的數據匯總：

在總評中，女生的錄取比率反而比男生低。請問有這樣反常的結果應該如何解釋呢？