有意思的函數

張澤玲

1 數字“0”

數字“0”不過是一個非正非負的整數，在某些情況下需要單獨討論，好像沒什么特別的。但實際上，它卻有十分重要的意義。

在人類歷史上，各個文明并不是一開始就意識到0的必要性。比如說漢字中的“零”被創造出來時意思是零星落下的雨滴，也就是只跟“整”相對，只表示“零碎”“不多”的意思，并非數學意義上的“零”。古希臘哲學家也覺得，既然“零”表示“沒有”和“虛無”，那么好像也沒必要用一個符號來表示。但隨著人類文明的發展，各個文明都覺得十進制非常好用，但十進制的計數方法里如果沒有零，就會變得非常麻煩。比如中國古代的算籌計數，只是把數字為0的地方空出來，但這樣在抄寫記錄的時候很容易丟失混淆。“0”的字體發明始于印度，而關于這個數字的概念，則是很早在其他很多地區就有了：巴比倫人、埃及人、瑪雅人以及印度人分別獨立發明了“零”，并傳播影響著別的古文明也來使用。等到計算機發明以后，0在二進制中比在十進制中還要重要。

0本身的意思是“沒有”，但其對于數學的意義卻是重大而深遠的。缺失了0的數學，理論一定是有重大缺陷的。

2虛數i

說起虛數i的意義，可能你的第一反應就是-1的平方根，除此之外再無其他。其實很多數學家在發現虛數時感覺也和你一樣。16世紀意大利米蘭學者卡爾達諾在1545年發表的《重要的藝術》（Arsmagna）一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡爾達諾公式”。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，盡管他認為這個表示是沒有意義的，是想象的、虛無縹緲的。給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾，他在《幾何學》（1637年）中將其命名為nombreimaginaire（虛構的數），成為虛數（imaginary number，imaginary在英文里意思是“想象出來的”）一詞的由來。

在虛數剛進入數的領域時，人們對它的用處幾乎一無所知，實際生活中也沒有用復數來表示的量，因而，最初人們對虛數的態度是懷疑而不肯接受的。萊布尼茨稱虛數是既存在又不存在的兩棲物。歐拉盡管用它，但也認為虛數是虛幻的。

測量學家維塞爾用a+bi表示平面上的點，讓虛數有了用武之地。后來，高斯建立了復平面的概念，使復數有了真正的立足之地，從此虛數就跟著復數一起在表示向量上大顯身手，在水力學、地圖學、航空學中有著日益廣泛的應用，后續還在物理理論中，尤其是電磁學中，扮演了重要的角色。

算籌

就是古代的一種十進制計算工具，起源于中國商代的占卜。

3 數學常數e

自然對數的底數e是個十分重要的無理數，但大多數人心目中最有名的無理數估計還是圓周率π和√2。這是因為，雖然e也會出現在很多公式中，但它并不是像π那樣能夠直接跟完美的圓形對應起來。事實上，對于e的定義有很多種，常見的四種e的定義如下：

上面這四個定義里出現的公式本身有著廣泛的應用。正是因為e的獨特性質，作為常數存在于很多基本公式，才使得它顯得好像是自然中本身就存在的一樣。很多數學家和工程師心目中最完美的歐拉公式，就是完美結合了e，π，虛數i和整數，不僅看起來整齊簡潔，還在實際中有著重要的應用。前面提到過的非常萬能的傅里葉變換，理論基礎之一就是歐拉公式。

4無理數

根據勾股定理，兩條直角邊長度為1的直角三角形，其斜邊的長度為√2。說起√2大家都不陌生，這是一個無限不循環小數，即無理數。然而正是這個簡單的無理數，卻引發了數學上的一個悲劇事件。

公元前5世紀的時候， 畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，世界上只有整數和分數（有理數）這種整齊而漂亮的數字。而畢達哥拉斯學派的門徒希帕索斯在研究勾股定理時卻發現了令人震驚的“無限不循環小數”√2，令該學派其他人感到非常恐慌，并引發了第一次數學危機。有傳言說最終希帕索斯被自己的老師畢達哥拉斯判決淹死，也有說法是被學派門人丟進海里淹死。

希帕索斯雖然遭此不幸，但并沒能阻擋人類在數學理論中引入無理數。因為除了√2，我們還有更重要的無理數：圓周率π和自然對數的底數e。

畢達哥拉斯學派

發現勾股定理的古希臘數學家畢達哥拉斯和他的學生所組成的學派，他們非常崇尚數學。