極區慣導編排中地球近似模型的適用性分析

林秀秀，卞鴻巍，馬 恒，王榮穎

海軍工程大學電氣工程學院，湖北 武漢 430033

地球的真實形狀是一個不規則的球體[1-2]，所以地球的數學模型可分為第一近似模型和第二近似模型。其中第一近似為球體模型，其數學表達式簡單，幾何誤差一般不可忽略，在中低緯度地區多應用于復雜的誤差分析。地球的第二近似為橢球模型，參考旋轉橢球體更接近地球的真實形狀，幾何誤差可以忽略不計，在中低緯度地區多應用于慣導解算。在極區，地球球體模型的幾何誤差減小，地球橢球模型的慣導解算復雜度增加，而且由于基于橢球模型的橫向坐標系橫向經緯線不正交的問題引入了編排原理性誤差[3-5]，球體模型也被應用于極區慣導解算[6]中。在極區導航算法的進一步研究中，球體模型由于表達式簡單得到了更廣泛的研究。文獻[7]研究了基于球體模型的極區組合導航算法；文獻[8—10]分別提出基于球體模型的極區對準方法；文獻[11]研究了基于球體模型的中低緯度對極區導航模擬方法。針對具體極區導航應用中選用的地球近似模型類型一直沒有明確的界定。慣導極區編排地球近似模型適用性研究對極區導航針對性研究具有重要意義。

為了實現地球近似模型的適用性分析，首先定義適用于極區的第一近似模型和第二近似模型，然后通過誤差分析方法，對球近似模型的幾何誤差進行慣導誤差分析，明確球體模型幾何誤差對慣導編排的影響形式，最后通過仿真對比地球近似模型的慣導誤差。仿真結果表明，球近似模型幾何誤差會隨慣導運行時間發散，而橢球近似模型的編排誤差隨時間變化不大，當慣導運行時間長則球近似模型不再適用于極區。

1 地球近似模型定義

1.1 球近似模型半徑的選取

當選用球近似模型作為地球模型時，其原點必定位于地心，故地球模型半徑的選取關系到模型對地球的擬合程度，直接影響地球模型的幾何誤差。在不同的應用領域中，地球模型半徑選取形式都不同，常用的球體半徑有等面積半徑Ra、等體積半徑Rv、橢球長半軸半徑Re、橢球短半軸半徑Rp等。在極區應用中，常選取切換位置橢球體曲率半徑Rs[12]或橢球短半軸半徑作為球體模型的半徑[13]。本文通過取N個地球橢球模型上的點p0i(xi,yi)使用最小二乘法擬合出與橢球模型半徑誤差最小的地球模型。由于橢球表面上的點到地心的距離與所在位置的經度無關，所以本文以過本初子午線的切面為例。

橢球上點到球面距離的平方和M為

(1)

式中，R為由最小二乘法確定的球體模型半徑。

最小二乘法要求橢球點到地心的距離與球半徑的誤差值的平方和為最小值，故存在

(2)

結合式(1)和式(2)求得

(3)

在極區范圍的橢球弧線上分別取N=1120、N=11 112、N=111 112，得到最小二乘法擬合半徑均為R=6 356.968 km，設切換位置為80°N，即取樣范圍為80°～90°的弧線，通過計算對球體模型半徑進行對比，球體模型半徑對比參數見表1。

表1球體模型半徑對比參數

Tab.1Comparisonparametersoftheradiusoftheearthspheremodel

半徑類型半徑/km橢球上點到球面距離的平方和MN=1120N=11112N=111112等表面積半徑Ra6371.010219286.842191386.1721912379.48等體積半徑Rv6371.004219099.512189514.1921893660.90橢球長半軸半徑Re6378.137498333.624979895.4449795513.57橢球短半軸半徑Rp6356.75293.61932.859325.24切換位置橢球體曲率半徑Rs6357.398246.492464.9024649.00最小二乘法擬合半徑R6356.96841.48413.394132.45

橢球上的點到球面距離的平方和M的大小可以表示為球體模型與橢球體模型在忽略經緯度誤差情況下的高度誤差平方和。由于在慣導解算中高度誤差發散，故選擇的M值應盡可能小，橢球上的點到球面距離的平方和M值可以表征球體模型對橢球體模型的擬合程度，由計算結果可知，在極區范圍內，與橢球體模型最相近的球體模型的半徑為最小二乘法擬合半徑R。

1.2 地球模型定義與對比

tan ΔL≈ΔL≈fsin 2L

(4)

由關系式可見兩者最大偏差出現在緯度45°處，在極區緯度誤差減小[15]，故而球體模型在一定的誤差范圍內可以使用。

圖1 球體模型與橢球模型定義對比圖Fig.1 Comparison diagram between the sphere model and ellipsoid model

2 橫向坐標系慣導編排及其誤差分析

2.1 橫向坐標系慣導編排

橫向坐標系能解決極點處計算存在奇異值的問題，在極區導航實際應用中橫向坐標系的研究具有重要意義。本文使用的橫向坐標系如圖2所示，載體位置為橫向坐標系(t系)的原點，沿參考球體模型的法線指向天為Zt軸，Xt軸沿橫向緯度線指向橫向正東，Yt軸沿當地橫向子午線指向橫向正北，Xt軸與Yt軸均與Zt軸符合右手定則。其橫向經緯線如圖所示，φ′為橫向緯度，λ′為橫向經度。

圖2 橫向經緯度與橫向坐標系示意圖Fig.2 A schematic diagram of transverse longitude and latitude and transverse coordinate system

橫向坐標系的編排可分別由以下速度、姿態和位置更新方程確定(具體推導過程從略)

(5)

通過計算值減去真實值推導橫向坐標系誤差方程(具體推導過程從略)

(6)

(7)

(8)

2.2 橫向坐標系誤差分析

結合1.2節和2.1節可知球近似模型的幾何誤差會引起解算的位置誤差和高度誤差。在慣導解算中高度誤差是發散的，且姿態誤差將影響到垂線偏角誤差，即球體模型的選用不僅僅會帶來幾何誤差，還會引起慣導解算誤差。本節參考文獻[16]中慣導橫向坐標系導航性能研究方法，推導球體模型幾何誤差引起慣導解算誤差的具體形式，該誤差分析形式與慣導解算中初始誤差對慣導系統誤差分析基本一致。

為了分析球體模型和橢球模型的幾何誤差對慣導系統的影響，在靜基座條件下進行誤差分析，可將誤差方程寫成矩陣形式

(9)

進行拉普拉斯變換得

X(s)=(sI-F)-1[X(0)+W(s)]

(10)

推導可得其特征

(11)

為簡化計算，忽略傅科周期成分及元器件誤差，推導出由幾何誤差引起的橫向坐標系的系統誤差

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

結合上述分析可知，球體模型的橫向緯度幾何誤差以及姿態幾何誤差引起的常值誤差和振蕩性誤差的疊加，其余項產生振蕩性誤差，幾何誤差影響隨時間發散。

3 地球近似模型適用性范圍分析

球體模型存在幾何誤差會產生慣導誤差，同時在橢球體模型的編排中，為了解決橫向經緯線不正交的問題，對編排作了一定的近似，帶來了原理性的誤差，故在地球模型和橢球體模型的選用中，要考慮兩者誤差的大小，將兩者誤差進行比較。

由于器件誤差會隨時間發散，為了對球體模型的慣導誤差和橢球體模型的慣導誤差進行對比，本文對無器件誤差對球體模型誤差和橢球體模型誤差進行對比仿真，并通過不同時長的仿真觀察球體模型誤差發散對模型對比的影響。

本文以航海任務為例，對極區地球近似模型無器件誤差慣導編排誤差進行仿真，通過不同時長仿真結果對在航海任務中地球近似模型的使用范圍進行給定，為極區模型研究提供理論依據。

3.1 無器件誤差對比仿真

為了對不同地球近似模型誤差仿真進行分析，假設載體初始地理位置為(80°N,125°E)，在靜基座條件下，仿真周期分別為24、240、360 h。在軌跡發生器中忽略元器件帶來的誤差。仿真結果如圖3—圖5所示。

表2無器件誤差不同時長地球模型編排誤差對比數據

Tab.2ThecomparisondataofdifferenttimeINSarrangementerrorwithnondeviceerror

統計量24h240h360hΔδφ′/m0.033711.22.59×106Δδλ′/m0.017638.72.46×106ΔδvtE/(m/s)7.19×10-60.813.23×103ΔδvtN/(m/s)2.12×10-50.923.34×103Δ?tE/(′)1.39×10-50.351.4×103Δ?tN/(′)1.72×10-50.381.27×103Δ?tU/(′)1.19×10-50.0343.48×102

對仿真結果進行分析可知，在極區無器件誤差條件下：①24 h內，地球球體模型幾何誤差和地球橢球模型編排誤差引起的慣導誤差差異不大，故24 h內地球模型可以使用，極區編排選用球近似模型；②240 h后球體模型和橢球體模型引起的編排誤差差異變大，兩種模型差異明顯，故時長超過240 h，地球模型誤差較大，建議極區編排選用橢球近似模型；③在極區無器件誤差條件下，地球球體模型幾何誤差引起的慣導編排隨著時間積累，靜基座條件下，360 h后球體模型的經緯度誤差超過2.4×106m，速度誤差超過3.2×103m/s，球體模型編排已經發散，不能使用，極區編排選用橢球近似模型。

圖3 極區地球近似模型無器件誤差慣導24 h編排誤差對比結果Fig.3 The comparison result of 24 hours INS arrangement error of non device error with the approximate model in polar region

圖4 極區地球近似模型無器件誤差慣導240 h編排誤差對比結果Fig.4 The comparison result of 240 hours INS arrangement error of non device error with the approximate model in polar region

圖5 極區地球近似模型無器件誤差慣導360 h編排誤差對比結果Fig.5 The comparison result of 360 hours INS arrangement error of non device error with the approximate model in polar region

3.2 實際應用地球近似模型選用分析

實際極區導航應用中，元器件誤差不可忽略，載體形式不同，元器件誤差和慣導運行時長都不一致，本文以艦艇為例，通過對比球體模型和橢球模型橫向坐標系編排誤差仿真，進一步驗證上一節結論，并分析極區導航應用中適用的球體模型。

由于元器件誤差會使極區慣導編排發散[17]，故當航行時間達到240 h時，基于橢球模型橫向坐標系編排和基于球體模型橫向坐標系編排均發散，其仿真結果已經不再有效。由于極區特殊的地理環境[18-21]，組合導航[22]以及校準模式[23-25]實際應用的可行性還需要得到進一步的驗證。為了驗證3.1節得出的結論同樣適用于存在元器件誤差的實際應用，對純慣導模式分別進行時長24 h和120 h的仿真。假設載體初始地理位置為(80°N,125°E)，地理速度為0.01 m/s，地理航向角為0°，橫搖角設置為0.3°sin(πt/4)rad，縱搖角設置為0.3°sin(πt/4)rad。在軌跡發生器中將3個陀螺的常值漂移為0.001(°)/h，隨機白噪聲標準差為0.001(°)/h，3個加速度計零偏為10-5g，隨機白噪聲標準差為10-5g。仿真周期分別為24、120 h仿真結果如圖6—圖7所示。

圖6 極區地球近似模型航海級器件誤差24 h編排誤差對比結果Fig.6 The comparison result of 24 hours INS arrangement error of seafaring level device error with the approximate model in polar region

圖7 極區航海級器件誤差地球近似模型編排誤差120 h對比結果Fig.7 The comparison result of 120 hours INS arrangement error of seafaring level device error with the approximate model in polar region

分析以上仿真結果可知，航海級器件誤差120 h地球模型差異大于24 h地球模型差異，與3.1節中結論一致。可以證實艦船實際航行中，運行時長超過240 h時必須選用橢球近似模型，時長少于240 h時，可選用球近似模型，以減少編排復雜度。同理，根據表3數據，飛機和導彈等短時間導航任務載體在極區可以使用球近似模型。在實際航行中，由于元器件誤差的存在會使慣導系統隨時間發散，一般不會存在運行時長超過240 h的無校準和組合導航的純慣導導航模式，但元器件誤差不會對幾何誤差引起的慣導誤差產生影響，故所得結論不會因為導航模式為組合導航或校準模式而改變。

表3不同載體類型地球模型編排誤差對比數據

Tab.3ThecomparisondataofINSarrangementerrorofdifferentcarriertypes

統計量導彈飛機艦船艦船5h24h24h120hΔδφ′/m0.1676.42.47348.8Δδλ′/m1.49153.62.81516.5ΔδvtE/(m/s)0.0010.080.0070.59ΔδvtN/(m/s)0.0020.043.4×10-40.42Δ?tE/(′)9.4×10-50.065.8×10-40.39Δ?tN/(′)8.6×10-40.053.7×10-40.19Δ?tU/(′)8.2×10-40.010.00130.01

4 結 論

本文首先通過不同球體模型半徑對比，給出極區地球近似模型的定義。在此基礎上，針對球近似模型幾何誤差，進行橫向坐標系慣導編排誤差分析，明確球體模型幾何誤差引起的慣導誤差的形式，最后通過對比球體模型幾何誤差引起的慣性誤差仿真和橢球模型編排誤差引起的慣性誤差仿真差異值，對幾種常見的導航載體適用的模型進行判斷。得到以下結論：①在極區通過最小二乘法擬合的半徑R=6 356.968 km確定的球體模型與橢球模型最相近；②球體模型的橫向緯度幾何誤差以及姿態幾何誤差會引起常值誤差和振蕩性誤差的疊加，其余幾何誤差項產生振蕩性誤差，幾何誤差影響會隨時間發散；③在無器件誤差靜基座下判斷出球體模型適用于時長小于240 h(10 d)的導航任務，橢球體模型適用于時長大于240 h的導航任務；④針對不同載體類型，根據其不同器件誤差和不同任務時長對艦船、飛機和導彈進行分析，建議在極區艦船使用橢球模型，而飛機和導彈使用球體模型。