提高解題能力

陳權

摘 要：在人們的實際生活中經常會看到許多的圓形物體，這也使圓形成為人們最熟悉的圖形之一。在對圓進行學習時，對于圓的切線的判定及證明是非常重要的，只有充分掌握“圓的切線”的證明方法及技巧，才能使日常生活中遇到的關于圓的問題得以有效解決。但對于圓的切線證明及判定問題來說，其也往往成為諸多學生在對圓進行學習時的一大難點問題。

關鍵詞：圓 切線 半徑 垂直

引言

近年來，數學學科的發展，使人們可以通過數學方法來解決實際生活中遇到的諸多問題。圓的切線的證明問題便是其中之一，利用數學方法來對圓的切線進行證明，能夠幫助人們更好的理解圓的切線的定義、判定定理，進而熟練運用證明方法來對圓的切線問題進行證明，總結出證明圓的切線過程中的證法技巧，從而使其在解決類似問題時，能夠根據證明結論來幫助人們對實際問題進行解決。

一、“圓的切線”的定義及判定定理

所謂圓的切線，是指在圓的任意邊緣點中有一條直線通過該點，該點便可稱之為公共點，而該直線由于通過了該公共點，因此可以視為該直線與圓相切，即直線為圓的切線，直線與圓之間的共公點又被稱之為切點。由此可見，通過圓的切線的定義，我們可以直觀的了解到圓與切線之間的關系，進而為我們后續對圓的切線問題的解決提供幫助。事實上，在對圓的切線問題進行解決時，學生必須要充分理解圓的切線的定義，才能使其在解決圓的切線問題時根據自己的理解能力來對已知條件進行分析，進而了解到圓的具體形狀。而在實際問題解決當中，已知條件都是題目中給出的，為了便于學生對圓的切線問題的想象，許多幾何問題都是提供具體的圖形的，因此在對圓的切線問題進行證明時，可根據具體圖形來對問題所涉及到的具體情況進行分析，以便于通過輔助手段來更好的解決問題。

二、“圓的切線”的兩種情況及證明方法

從圓的切線的定義可以了解到，直線是經過圓的公共點的，而該公共點可以是圓形邊界中的任意一點，該直線則通過該點與圓相接，由此說明直線是經過圓的半徑的外端的，并且其和圓的半徑是以相互垂直關系存在的，而該直線便是該圓的切線。依據上文中對切線的定義，并根據其判定定理，可將圓的切線問題的判定與證明按照三種情況進行劃分，第一種情況是在題目中已經給出圓和直線之間的公共點，在對該類問題進行解決時，首先要把圓心和該公共點進行連接，這樣便可構造出該圓形的半徑線，然后便可根據該半徑線證明其與圓的切線垂直即可。例如，兩個圓為同圓心，圓心為O，AB切大圓于B，AC切小圓于C且與D、E相交，其中DE的長度為10，AB的長度為12，ctg BAO為 ，需要對這兩個圓的半徑進行求解。在證明該問題時，需要將OB和OC進行連接，由上述條件可以得知OB AB、OC AC，根據勾股定理可進一步求出這兩個圓的半徑分別是2 與9，進而證明了DE為兩個同心圓的切線。

第二種情況是圓與直線之間的公共點并未在圖中標明，在對這類問題進行解決時，由于不知道圓和直線之間的公共點在哪，因此有必要通過相應的輔助方法來找出圓和直線之間所具有的公共點，然后證明該點為圓與直線的公共點，在證明出該點為圓和直線的公共點以后，便可根據該公共點和圓的圓心來構造出半徑線，然后采用第一種情況中的方法，證明該半徑線與直線相垂直，便可有效解決圓的切線證明問題。例如，在Rt ABC中有一AC邊為其直角邊，以AC作為該圓的直徑進行⊙O，其與AB的斜邊相交，交點為D，其另一直角邊中的E為其中點，則證明⊙O中的切線為DE。在證明該問題時，需要將OD進行連接，由于⊙O的直徑為AC，因此 ADC與 BDC的角都是相等的，均為直角，因為BE與EC的長度相等，因此DE的長度為BC長度的一半，因此 1與 2相等。由于OD與OC的長度相等，所以 3與 4的長度相等，因此 ODE為 1與 3的和或 2與 4的和相等，其與 ACB的角度均為直角，所以可以證明⊙O的切線為DE。

通過對以上兩種情況的證明方法進行闡述，可以幫助學生更好的實現對圓的切線問題進行證明，事實上，在對圓的切線問題進行證明，以上兩種情況包括了所有不同的圓的切線證明類型，不過在對圓的切線問題進行證明時，學生仍舊需要更加用心，充分了解題目具體屬于哪種情況，然后再采用相應的證明方法來對該題目進行證明，這樣便可得到相應的答案。

三、“圓的切線”的證法技巧及教學建議

通過對上述三種情況的圓的切線證明問題進行分析，可以總結出以下的證法技巧，對于第一種情況，可以將其總結為：當圓與直線之間存在公共點時，解題需要先將該圓的圓心與公共點相連，以此構建相應的半徑線，并對半徑線與切線之間的垂直關系進行證明，進行簡化可以縮減為十個字，即有公共點、構造半徑、證垂直。對于第二種情況，可以將證法技巧總結為：利用輔助方法對直線和圓之間的公共點進行證明，并利用第一種情況的證明方法進行解決，進行簡化后可以將其精簡為十一個字，即找公共點、構造半徑、證垂直。對于第三種情況，其證法技巧可以總結為：構造直線的垂線，使垂線經過圓心，并證明該垂線與圓的半徑相等，可將其精簡為十一個字，即無公共點、作垂直、證半徑。通過對上述三種情況的證法技巧進行總結可以了解到，在對圓的切線問題進行解決時，首要步驟便是要對圓的切線證明問題的類型，即屬于哪種情況進行確定，然后根據其具體情況采用相應的證明方法，而通過證法技巧的總結，能夠有效幫助學生更好的掌握這些證明方法，并根據證法技巧的口訣來對證明方法的要點進行記憶，從而在對問題進行證明時，能夠根據記憶的口訣來對圓的切線問題進行證明，提高學生的解題能力。由此可見，對于學生來說，掌握有效的證法技巧，將更有助于幫助學生證明圓的切線問題。鑒于此，本文提出以下教學建議，以期能夠幫助學生有效掌握圓的切線問題的證法技巧，首先，在對圓的切線問題進行教學時，教師可利用多媒體工具將圓的切線證明問題的類型及常用證明方法進行列出，使學生能夠掌握常用的證明方法與常見的圓的切線證明問題的三種類型，并對證明方法進行簡化，使其濃縮為易被記憶的口訣，使學生能夠充分理解口訣中的相關要點，并按照要點進行解題。

結語

總而言之，對于圓的切線的證明問題來說，其是初中階段數學教學的重要內容之一，也是學生對圓的學習的難點所在。因此，在對圓的切線證明問題進行教學時，必須要引導學生對圓的切線證明問題的類型進行確定，使其能夠明確該問題具體屬于哪種情況，并根據該情況所提出的相應證明方法，牢記證明方法中的口訣與要點，從而使學生能夠更加有效的對該類問題進行解決，提高學生對圓的證明問題的解題能力。