求函數的值域方法種種

李寶賢

摘 要：函數的值域在函數的應用中占有非常重要的地位.因此，準確選擇恰當的方法顯得十分重要.本文結合具體的例題說明了求函數值域的方法.

關鍵詞：函數 值域 方法

函數的值域在函數的應用中占有非常重要的地位.近年來的高考題中，一般不直接考查函數的值域，往往作為綜合題的一部分來考查.而求函數的值域是一個比較復雜的問題.因此，準確選擇恰當的方法顯得十分重要.下面舉例說明求函數值域的方法，供參考.

一、直接法

有點函數結構并不復雜，可以通過基本初等函數的值域及不等式性質直接觀察得出函數的值域.

例1：求函數 的值域

解：∵ ∴ ∴ ，即

∴函數 的值域為

二、中間變量法

對于一些特殊的函數，通過一定的變換，借助于中間變量的范圍來達到求原函數的值域.

例2：求函數 的值域

解：∵

∴

又∵ ，∴ 且

∴ ，∴

∴函數的值域為

三、換元法

運用代數或者三角代換，將所給函數轉化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域.形如 （a，b，c，d均為常數，且ac≠0）的函數常用此法求值域

例3：求函數 的值域

解：

令 ，則 ，

∵ ，∴函數在[0，+ ∝）上是增函數

∴當 即 時， ，無最大值.

∴所求函數的值域為[1，+ ∝）

例4：求函數 的值域

解：∵函數的定義域為

∴令x= ，

則

∵ ，∴

∴ ，

即

∴所求函數的值域為 .

四、配方法

對于二次函數或可化為形如 的函數值域問題，均可用配方法.用此法求函數值域一定要注意定義域.

例5：已知 ，求函數 的值域

解：

∵ ， ∴ .

∴

=

=

=

∵ . ∴當 時， ，

當 時，

∴所求函數的值域為

五、不等式法求值域：利用均值不等式

例6：求函數 的值域

解：∵函數的定義域為

∴當 時，

當 時，

∴原函數的值域為

六、判別式法求值域

把函數轉化成 關于的二次方程 ，通過方程有實根，判別式△≥0，從而求得原函數的值域。

形如 不同時為0）的函數的值域常用此法。

例7：求函數 的值域

解：此函數的定義域為R，由 得

①當 時， ， 符合題意

②當 時，△=

∴

綜上所述，原函數的值域為

七、利用函數的單調性求值域

確定函數在定義域（或某個定義域的子集上）的單調性求出函數的值域的方法稱為單調性法.常見的有二次函數在某個區間上求值域，對號函數[ ]在某個區間上求值域，在利用重要不等式求值域失效（符號不滿足）的情況下，可采用單調性求值域.

例8：求函數 的值域

錯解：∵ >0

∴有均值不等式

∴ ， ∴函數的值域為

錯因：利用均值不等式時，一定要注意條件“一正二定三相等”，而此題不滿足均值不等式的條件，等號不能成立

（∵當 時. ， ）

正解：令 ，則 ，

由 在 上單調遞增

∴當 即 時，

∴函數的值域為

八、數形結合法求值域

數形結合法就是利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖像來求函數的值域。

例9：已知實數x，y滿足 ，求 的取值范圍

解：將 看成橢圓 上的動點（x，y）

與定點P（0，—4）的連線的斜率，過點P引橢圓的兩條切線PA，PB，設切線方程為 ，如圖所示

由 得

則△

∴ ，∴ ，

∴所求函數的值域為

九、函數的有界性求值域

形如

（或 或 ）型函數常用此法。

例10：求函數 的值域

解：原函數可變形為 ，即

∵ ，∴ ，

∴ ∴所求函數的值域為

此題還可以看成是過定點P（2，2）和圓 上一點的直線斜率，應用數形結合法，如圖

十、導數法：多項式函數在閉區間上求值域多用此法

例11：求函數 在區間 的值域

解：∵ =

令 得

當 時， ， 為增函數

當 時， ， 為減函數

當 時， ， 為增函數

∴ 在 處取得極大值，在 處取得極小值

而 ， ， ，

∴

∴函數 在區間 的值域為