做平面運動滾子從動件盤形凸輪機構的泛類尺寸綜合問題

林夢杰 李延平 常 勇

集美大學機械與能源工程學院，廈門，361021

0 引言

針對做平面運動滾子從動件盤形凸輪機構，常勇等[1-8]歸納和概括得到廣義Ⅰ類尺寸綜合問題和廣義Ⅱ類尺寸綜合問題。廣義Ⅰ類尺寸綜合問題，即已知從動構件系統尺寸、輸出件推程始終位置和位移規律、許用壓力角、位于連桿平面Σ2的滾子中心位置等，求解凸輪軸心的解區域、最緊湊的機構尺寸解等。廣義Ⅱ類尺寸綜合問題，即已知從動構件系統尺寸、輸出件推程始終位置和位移規律、許用壓力角，位于機架平面Σ0的凸輪軸心位置等，求解滾子中心的解區域、最緊湊的機構尺寸解等。上述兩類尺寸綜合問題有明顯的前提，前者是已知滾子中心，求解凸輪軸心；后者是已知凸輪軸心，求解滾子中心。

本文研究的問題是，已知從動件系統尺寸、輸出件推程始終位置、位移規律和許用壓力角等條件，求解滾子中心、凸輪軸心解區域、最緊湊的機構尺寸解等的尺寸綜合問題，即泛類尺寸綜合問題。

1 問題的準確描述

如圖1所示，德國海德堡高速印刷機機構的泛類尺寸綜合問題的描述如下：已知機架長度l0、搖桿長度l5、初位角θ50、行程角βm、推程運動角Ф0和運動規律、推程許用壓力角[α]、凸輪轉動方向滾子中心C，凸輪軸心O1分別位于連桿平面Σ2、機架平面Σ0上，求解滾子中心C、凸輪軸心O1的解區域、最緊湊機構尺寸解等。

圖1 高速印刷機機構的構型Fig.1 Mechanism-form of high-velocity printing machine

2 理論基礎和若干重要結論

2.1 固定坐標系Oxy和浮動坐標系O2uv

圖1所示的演化構型中，凸輪軸心、滾子中心位于機架、連桿平面，反映泛類尺寸綜合的特征。固定坐標系Oxy指固連于機架平面Σ0上，以O為原點、O→x為x軸正向、O→y為y軸正向的坐標系。浮動坐標系O2uv指固連于連桿平面Σ2上，以O2為原點、O2→u為u軸正向、O2→v為v軸正向的坐標系。

2.2 廣義Ⅰ類尺寸綜合問題解法[3]

據文獻[3]，在連桿平面Σ2上任取一點作為滾子中心C(u,v)，根據類速度圖原理和推程壓力角α≤[α]，任一瞬時均存在瞬時區域套Γ(x,y)/瞬時邊界?Γ(x,y)。根據相應解析公式[3]，繪制整程∠P20Hx-θ1線圖。

圖2 Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)存在(開放性態)Fig.2 Γ*(x,y)/?Γ*(x,y) exists(oponed)

2.3 最優凸輪軸心和凸輪最小基圓半徑的求解

圖3 Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)存在(封閉性態)Fig.3 Γ*(x,y)/?Γ*(x,y) exists(sealed)

3 Γ*(x,y)/ ?Γ*(x,y) 的性態多樣性

在連桿平面Σ2上，探索、遍歷性選取一系列點作為滾子中心C(u,v)，采用文獻[3]方法及解析公式編制通用程序，生成對應的Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)。

滾子中心C(u,v)不同時，Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)存在性態多樣性：

(2)Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)不存在時，如圖4所示，Γ*(x,y)是空集，Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)不存在。

圖4 Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)”不存在Fig.4 Γ*(x,y)/?Γ*(x,y) not exists

文獻[3]因在連桿平面Σ2上取點有限，僅僅發現了Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)存在的情形。新的研究發現：①Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)可能存在②Γ*(x,y)/?Γ*(x,y)存在時，有開放性態、封閉性態。

4 C、O1解區域的遍歷搜索求解方法

4.1 選定簡約遍歷區域Σ [2]和Σ[0]

連桿平面Σ2、機架平面Σ0無限延展，若據此搜索求解，計算工作量大、不經濟、效率低，因此，應盡量壓縮簡約遍歷區域Σ[2]和Σ[0]的選擇范圍。同時，應能保證反映、呈現重要的現象、規律和特征。

通過預估和評判，在連桿平面Σ2、機架平面Σ0上，選定圖5所示的簡約遍歷區域Σ[2]：

(1)

和Σ[0]：

(2)

圖5 Σ[2]和Σ[0]及其離散——網格化Fig.5 Σ[0] and Σ[0] and its discrete grid

Σ[2]、Σ[0]的選定需要兼顧求解的可靠性和經濟性?？煽啃灾竼栴}目標解必居其中；經濟性指求解工作量顯著減小。

4.2 Σ[2]和Σ[0]的離散——網格化

如圖5a所示，對Σ[2]和Σ[0]分別沿u、v和x、y方向離散——網格化：

Δ=up+1-up=vq+1-vq=xj+1-xj=

yk+1-yk=10-m(mm)

(3)

其中，m為離散指數，取自然數，根據求解精度要求而定。

對于任一網格節點C(up,vq)和O1(xj,yk)，有

(4)

p=pmin，pmin+1，…，pmax

pmin=int(-0.7l0/Δ)pmax=int(0.7l0/Δ)

q=qmin，qmin+1，…，qmax

qmin=int(-0.4l0/Δ)qmax=int(l0/Δ)

和

(5)

j=jmin，jmin+1，…，jmax

jmin=int(-0.4l0/Δ)jmax=int(l0/Δ)

k=kmin，kmin+1，…，kmax

kmin=int(-0.7l0/Δ)kmax=int(0.7l0/Δ)

4.3 滾子中心C的解區域和非解區域

圖6 滾子中心C的解區域和非解區域 Fig.6 Union solution domain and non-union solution domain of roller center C

4.4 滾子中心C的并解區域和并非解區域

(6)

圖7 滾子中心C的并解區域和并非解區域 Fig.7 The roller center C’s union solution region and not union solution region

4.5 凸輪軸心O1的并解區域和并非解區域

5 最緊湊機構尺寸解的存在性與求解方法

如圖9所示，根據2～4節，得最緊湊尺寸解的具體求解思路和步驟：

圖8 凸輪軸心O1的并解區域和并非解區域 Fig.8 Union solution domain and non-union solution domain of cam axis O1

圖9 空間曲面S* *、谷脊線J* *和谷底點P* *Fig.9 Space surface S* *,ridge line J* * and bottom point P* *

6 機構綜合示例

求解步驟如下：

(2)如圖9所示，據已知條件、步驟(1)和第5節步驟(1)～步驟(4)，解得空間曲面S* *。