應用巧辦法，妙解二次函數值大小比較問題

◎秦宇峰 張孟剛

比較二次函數值的大小是九年級學生頭痛的一個難題，常用的方法有：1、可以采用代入法分別計算出二次函數值的大小再比較；2、也可采用對稱性將不同點轉化到對稱軸的同一側，再利用二次函數的增減性比較大??；這兩種方法計算均略顯麻煩；3、把比較函數值大小的問題轉化為比較這些點與對稱軸的水平距離的大小問題。

方法1有時行得通有時就行不通。

方法2比較麻煩，尤其是點在對稱軸的兩邊，方法3是比較巧妙的，掌握了解決此類題非常方便。

方法3的理論也并不深奧。

只要教師善于引導學生仔細觀察圖象就能總結出規律：二次函數圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），對稱軸為 X＝m，如何比較函數值的大小呢？我們總結的巧辦法是：當a大于0時，一個點離對稱軸越遠（即｜x-m｜越大），這個點越高，對應的y值越大，一個點離對稱軸越近（即｜xm｜越?。?，這個點越低，對應的y值越小。如果兩個點離對稱軸的水平距離一樣（即｜x-m｜相等），那么這兩個點高度一樣，對應的y值相等；反之也成立，一個點的y值越大，說明離對稱軸越遠（即｜x-m｜越大），一個點的y值越小，說明離對稱軸越近（即｜x-m｜越?。?/p>

｜x-m｜表示點與對稱軸的水平距離。等于它的橫坐標與對稱軸數值的差的絕對值，若知點在對稱軸左邊，那么m大x小，｜x-m｜＝m-x。這樣就不用帶絕對值符號了，更加方便。若知點在對稱軸右邊，那么x大m小，｜x-m｜＝x-m。

當a小于0時，一個點離對稱軸越遠（即｜x-m｜越大），這個點越低，對應的y值越小，一個點離對稱軸越近（即｜x-m｜越?。@個點越高，對應的y值越大。反之也成立，一個點的y值越大，說明離對稱軸越近（即｜x-m｜越大），一個點的y值越小，說明離對稱軸越遠（即｜x-m｜越?。?/p>

類型1：根據距離大小判斷二次函數值的大小

例題1：（2015西安匯知中學模擬題改編）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是 x＝-1，圖象經過點 A（-3.14，y1），B（-，y2），C（0，y3），則關于 y1，y2，y3的大小關系是.

解：-1-（-3.14）＝2.14，-1-（-）＝0.414，0-（-1）＝1.

根據總結的規律“當a＞0時，一個點離對稱軸越遠（即｜x-m｜越大），這個點越高，對應的y值越大”知y2＜y3＜y1。

例題2：、已知二次函數y＝3(x-)22+m的圖像經過三個點則y1、y2、y3的大小關系為（ ）

A y1＞y2＞y3B y2＞y1＞y3

C y1＞y3＞y2D y3＞y2＞y1

1、此題可以采用代入法分別計算出y1、y2、y3的大小再比較；

2、也可采用對稱性將A、B、C三點轉化到對稱軸的同一側，再利用函數的增減性比較大小。

利用本法做這道題：因為a＝3，所以拋物線開口向上，由x-2＝0得x＝2，所以對稱軸是x＝2，此時拋物線上的點與對稱軸的距離越遠函數值越大，A、B、C三點到對稱軸是 x＝2的距離分別是、，且有即A點最遠、C點最近，所以y1＞y2＞y3，使用這種方法比較函數值的大小時，你只需要比較它們到對稱軸的距離就行了。

例題：2：（2015西安鐵一中模擬題）已知拋物線y＝a（x-4）2+3的圖象經過點 A（1，-5），B（m，y1），C（n，y2），且｜m-4｜＞｜n-4｜，則關于y1，y2的大小關系是什么？

解：把 A（1，-5）代入 y＝a（x-4）2+3中，可以求出 a＝-8/9。令

x-4＝0，可以得到對稱軸為 x＝4。條件｜m-4｜＞｜n-4｜說明點 B離對稱軸的距離大于點C離對稱軸的距離。根據總結的規律“當a小于0時，一個點離對稱軸越遠（即｜x-m｜越大），這個點越低，對應的y值越小”知 y1＜y2。

練習1：（2015·河南）已知點 A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函數y＝（x-2）2-1的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是

練習2：（2011陜西第10題）若二次函數y＝x2-6x+c的圖像過

A（-1，y1），B（2，y2），C（3+，y3），則 y1，y2，y3的大小關系是 （）

A.y1＞y2＞y1B y1＞y3＞y2

C y2＞y1＞y3D y3＞y1＞y2

練習3： （2015大慶改編1）已知二次函數 y＝4（x-2）2+c，當 x＝x1時，函數值為 y1，當 x＝x2時，函數值為 y2，若｜x-2｜＞｜x-2｜，則 y1，y2的大小關系是什么？

（2015大慶改編2）已知二次函數 y＝-4（x-2）2+c，當 x＝x1時，函數值為 y1，當 x＝x2時，函數值為 y2，若｜x-2｜＞｜x-2｜，則 y1，y2的大小關系是什么？

（2015大慶）已知二次函數 y＝a（x-2）2+c，當x＝x1時，函數值為y1；當 x＝x2時，函數值為 y2，若｜x1-2｜＞｜x2-2｜，則下列表達式正確的是（ ）

A.y1+y2＞0 B.y1-y2＞0

C.a（y1-y2）＞0 D.a（y1+y2）＞0

類型2：根據二次函數值的大小判斷距離大小

例題：（2013陜西第10題）已知兩點 A（-5，y1）、B（3，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c(a≠ )0上，點C（x0，y0）是該拋物線的頂點，若y1＞y2≥y0，則x0的取值范圍是（ ）

A.x0＞-5 B.x0＞-1 C.-5＜x0＜-1 D.-2＜x0＜3

解：由y1＞y2≥y0知頂點是最低點，說明拋物線的開口方向上，那么a＞0，因為點C（x0，y0）是該拋物線的頂點，所以對稱軸為x＝x0，由y1＞y2知點A離對稱軸的距離大于點B離對稱軸的距離，可以列出關于x0一元一次不等式：x0-（-5）＞3-x0，解之得x0＞-1。

練習：若點 A（m+2，y1），B（2-n，y2）（m＞0，n＞0）在二次函數 y＝ax2-4ax+3（a＜0）上，且 y1＞y2，則 m，n的大小關系是什么？

解：先求對稱軸為 x＝-（-4a/2a）＝2，因為 a＜0，y1＞y2，說明點 A比點B距離對稱軸近，m+2-2＜2-（2-n），所以m＜n。