高中數(shù)學(xué)排列組合常用的解題思考與實(shí)踐

◎劉品宏

一、排列組合解題方法思考分析

高中數(shù)學(xué)對(duì)排列組合的考察內(nèi)容廣泛，試題類型多并且復(fù)雜，因此排列組合的解題方法也是多種多樣的。我們?cè)诮鉀Q排列組合的問題時(shí)，需要針對(duì)不同特點(diǎn)的試題進(jìn)行不同的解題思考，所以說排列組合的解題方法是多種多樣的。在大量的習(xí)題練習(xí)和測(cè)試中，排列組合的解題方法大致可以歸納為以下幾種。

1.枚舉法 所謂的枚舉法就是依據(jù)題目中已知的內(nèi)容，按照一定的規(guī)律去列舉可能出現(xiàn)的情況，從而得出答案的方法。枚舉法是一種直觀的解題方法，所以我們?cè)谑褂妹杜e法時(shí)必須按照一定的規(guī)律或是順序進(jìn)行列舉，避免出現(xiàn)列多或是列少的情況。枚舉法適用的題目特點(diǎn)一種是題目中的總數(shù)在10個(gè)左右，第二種便是是我們常見的骰子問題。例如：在分別標(biāo)記了數(shù)字1，2，3，4，5，6的6張卡片中隨機(jī)抽取3張，3張卡片數(shù)字之和等于10的概率為多少。我們將所有的情況按照一定的規(guī)律進(jìn)行列舉從而得出，滿足要求的情況有（1，3，6），（1，4，5），（2，3，5）三種，所以概率為P＝0.15.

2.捆綁法 捆綁法主要是運(yùn)用在排列組合中的相臨問題中，捆綁法能夠快速地解決相對(duì)復(fù)雜的排列組合。在面臨對(duì)象為多個(gè)元素相臨的排列形式下，主要是用捆綁法。例如：3個(gè)3口之家一起觀看演出，他們購(gòu)買了同一排的9張連坐票，則每一家的人都坐在一起可以有多少種不同的坐法。我們可以將每個(gè)3口之間進(jìn)行“捆綁”看做一個(gè)整體，則三個(gè)整體坐3個(gè)位子有3！種坐法，每個(gè)家庭內(nèi)部順序?yàn)椋?！）3，所以最終不同的坐法有（3！）4種。捆綁法的解題思路是將相臨元素進(jìn)行捆綁后，使其和其他元素排列，然后對(duì)整體內(nèi)部的元素展開排列，最終得出答案。

3.插空法 插空法和捆綁法所針對(duì)的排列組合類型是完全相反的。插空法適用于不相鄰的排列組合問題。例如：5名學(xué)生站在一排進(jìn)行拍照，要求甲、乙、丙三人互不相鄰，有多少種不同的排列方法。對(duì)于這種幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，我們運(yùn)用插空法先將其他元素拍好，然后將不相鄰的元素在已經(jīng)排好的元素之間或者是兩端插入。比如此題中，我們先將其他的兩名學(xué)生排列好，有A22種排列方法，兩名學(xué)生中產(chǎn)生3個(gè)空隙，將甲、乙、丙三人插進(jìn)空隙中有A33種排列方式，因此可以得出答案共有A22×A33＝12種排列方法。

4.隔板法 隔板法適用于將相同的元素分在不同的空間，且確保不會(huì)出現(xiàn)空白的排列組合的問題。隔板法顧名思義就是將所有的元素以一種限制條件相隔。在n個(gè)元素之間插入若干個(gè)“隔板”。可以把n個(gè)元素分為（n+1）組。隔板法的使用有限制條件，首先n個(gè)元素互不相異，其次，所分成的每一組至少有一個(gè)元素，最后分成的組不能相同。例如：將10只相同的球隨即放入4個(gè)盒子中，則保證每個(gè)盒子不空的投放方法有多少種？我們可以知道10只球擺放中間會(huì)產(chǎn)生9個(gè)空隙。運(yùn)用隔板法可以將10只相同的球中間產(chǎn)生的9個(gè)空間放入3個(gè)隔板，所以共有種不同的方法。隔板法的使用必須滿足一定的限制條件。

5.特殊元素優(yōu)先安排 在排列組合的相關(guān)習(xí)題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到帶有特殊元素的排列組合問題。遇到這種問題，我們的解題思考是找到題目中的“特殊元素”，從這些元素切入，先將“特殊元素”進(jìn)行排列，隨后再排列其他元素。最后將所有的排列合并計(jì)算。例如：球隊(duì)中的10名隊(duì)員有3名是主力隊(duì)員，派出5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五的位置其余的7名隊(duì)員中選出2名安排在第二、四的位置，不同的出場(chǎng)安排有多少種？根據(jù)題目我們可以找到其中的“特殊元素”為3名主力隊(duì)員，先將3名主力隊(duì)員進(jìn)行排列安排在第一、三、五的位置，共有種方法，然后將其他元素，即從余下的7名中選出的2名進(jìn)行排列，安排在第二、四的位置，共有種方法。最后合并計(jì)算即共有中排列方法。

6.正反法 在排列組合的相關(guān)問題中，我們經(jīng)常會(huì)在題目中看到“至少”、“至多”等字眼。對(duì)于這類排列組合直接進(jìn)行求解比較麻煩，因此需要用到“正反法”的解題思路進(jìn)行解題，從題目的反面入手，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。比如“至少有一個(gè)”的反面是“一個(gè)都沒有”。例如：從5名男生4名女生共9人中選出3名參加比賽，至少有一名女生的不同選擇方法共有多少正？我們首先從題目中尋找“正反面”，“至少有一名女生”的對(duì)立面為“三名都是男生”，則問題轉(zhuǎn)化為“三名都是男生”的選擇方法有多少種。我們要準(zhǔn)確的理解“正面”問題的“反面”是什么，才能夠保證題目解答的準(zhǔn)確性。

三、結(jié)語

從以上列舉的六種解題思考中我們可以看到排列組合問題的靈活性和多樣性。我們?cè)谌粘Ｉ钪幸矔?huì)經(jīng)常遇到各種各樣的排列組合問題。在實(shí)際生活中我們要善于發(fā)現(xiàn)生活中的“排列組合”，能夠熟練地運(yùn)用所學(xué)到的排列組合知識(shí)解決實(shí)際生活中的排列問題，從而鍛煉我們相關(guān)的數(shù)學(xué)思維。