蝴蝶定理的研究與推廣

王一卜

摘 要：對于蝴蝶定理的研究和推廣，提出了關于弦（貫穿整個圖形的核心）在圓的切線上的證明，并進行了求證與推廣然后對弦上交點個數以及相關對應點進行了討論并總結匯總了表格，最后通過第三部分得出了論文的核心結果。

關鍵詞：蝴蝶定理;推廣

在說到與圓有關的命題時，許多的教育工作者都會想到一個經典的幾何命題——蝴蝶定理，并用此定理作為講授和研究與圓有關問題的典型例子。蝴蝶定理的英文是Butterfly Theorem，蝴蝶定理是古典歐式平面幾何最杰出的結果之一。而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1994年2月號，題目的圖形就像一只蝴蝶.蝴蝶定理作為一道著名的平面幾何問題，有人贊譽它為歐式幾何園地里的“一顆生機勃勃的常青樹”。蝴蝶定理最先作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》，中同時刊登了蝴蝶定理的兩個證明方法.其中一個是英國著名的自學成才的數學家霍納的解法.霍納受過中等教育，18歲時擔任其母校校長.關于這個定理的證法多的不勝枚舉，至今仍被數學熱愛者研究，本文在給出蝴蝶定理的一個簡潔證明的基礎上研究其推廣形式并加以證明。

一、蝴蝶定理的介紹

接下來為大家介紹蝴蝶定理的一種形式。定理1.1如，1.1作直線AB交圓O與A，B取中點M，CD與GH交于M連接DG，CH分別交于AB于P，Q兩點，則MP=MQ。證明：易知△CMF～△EMD，MG，MH為這兩個相似三角形對應邊上的中線，所以△GMF～△HMD，則∠FGM=∠DHM.又因為O，G，P，M四點共圓，有∠POM=∠PGM=∠QHM=∠QOM由此得Rt△POM≌Rt△QOM，所以PM=QM? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 證畢

以上為蝴蝶定理的關于線在圓內的標準推廣，下面介紹一種關于線在圓外的推廣。定理1.2 如圖1.2做圓O，做園外一直線過圓心做垂線交直線于點M，在直線上取M為對稱點的E，F過E，F作直線交于A，B，C，D.直線與BC，AD交于S，T如圖1.2，由于下文會有該題目的講解所以題目及證明在這里不再贅述。蝴蝶定理的形式千變萬化其中不乏在特殊圖形中的推廣，接下來筆者為大家展現以下證明。定理1.3[5] 如圖1.3，△EAP中DM與AP延長線交于C點，則。證明：由于PM=QM，由（1），（2）得=1（5）。△EAM中，DQ交AM的延長線于點B（3）。△FBM中，CP交BM的延長線于點A，（4），由（5），（6）得（7），因此（8），由（7），（8）得MF×QE=ME×PF所以ME=MF。而本題則以多圓為主線，利用圓上的性質與定理進行求解，該題證法略。定理1.4[4]? 如圖1.4AB為圓O內任意一條弦，過M做CD，EF， △EMD與△CMF外接圓與AB交點為G，H則MG-MH=3（MA-MB）。

二、關于前人推論與我的思考

在了解大量推廣后我進行了分類總結并歸納出如下定理。本節中部分定理已經做過介紹便不再贅述。定理2.1該定理與1.1基本圖形略有不同此外弦上交點也多了一個。如圖2.1，PQ為過圓的一條直線，點M則為PQ的中點，E，F為PQ上關于M對稱的點。過點E，F作兩條弦AB，CD交于圓O，依次連接BC，AD交于PQ與點T，S所以MS=MT。定理2.2[4] 該定理與定理1.1基本圖形較為近似，1.1通過做垂線的方法進行求解而該定理則是延長線段進行求解。如圖2.2，△ENQ被直線EF所截=1，PNQ被直線CD所截=1。定理2.3[4] 該定理與2.1頗為相似弦上交點個數相同基本圖形三角形交點略有不同。如圖2.3，做圓O取M為弦AB中點H，N為AB上任意兩點且關于M點對稱，過H，N做任意兩條弦CD，EF交AB于Q，P則MP=MQ。

定理2.4[4] 該定理較為特殊是蝴蝶定理在四邊形中的應用弦上交點與定理2.2相同。如圖2.4，如果BD為ABCD中線，令其對角線交點為M，使AB，CD交于P，Q，與AD，BC交于S，R連接PR，SQ與AC交于G，H，則MG=MH。定理2.5[4] 該定理則想法較為新穎，設計出了蝴蝶定理關于弦在圓外的情況弦上交點個數也較多。如圖1.2，題目及證明在這里不再贅述。證明：在△ESA中，，在△EBT中，，在△FTC中，△SFD中.將上面四式兩邊相乘，同時∠EAC=∠BCD， ∠B=∠D.則有EA×EB×TF×FS=ES×ET×CF×FD.由于OM⊥EF，EM=FM，所以EA×EB=CF×FD.即TF×FS=ES×ET，所以ME=MF，易得MS=MT 證畢，定理2.6[4] 該定理描述了蝴蝶定理關于在直線之間夾角的情況。如圖1.3題目及證明在這里不再贅述。

通過對六個定理及其基本圖形，弦位置，弦上交點個數的總結及判斷得出了關于蝴蝶定理的更深層次的理解與探討，接下來筆者也會在下文中加入自己關于蝴蝶定理的研究與推廣方面的思考以及探究。

三、關于我的思考

在前面了解了大量蝴蝶定理推廣后，我初步有了自己的想法做出了該定理由于對蝴蝶定理關于弦在切線外的情況了解不夠充分導致該定理證明出現問題列舉此定理只是為了展示本人在研究過程中的思考。如圖3.1做一條切線過圓O交于AD以M點為對稱點做E，F取任意點A，B連接AF，BE，A過圓與BE交點于點C，B過圓與AF交于點Q，連接AC交EF于點P，則PM=QM。

如圖3.2做圓O切線PQ交圓O于點M在圓O任取一直徑（不垂直于切線）CE過點ML連接CM并延長至點D過點E連接EM并延長至點F使△MCE～△MDF求證PM=QM。此前兩個證明由于條件等各方面不夠充分導致無法準確證明其結論，接下來筆者為大家帶來本篇論文的核心結論。關于在正方形中蝴蝶定理的推廣的探討。猜想3.3 如圖3.3四邊形ABCD為正方形O為BD中點M，N為BD四等分點，做EH∥BC，EF⊥BD證明：OP=OQ。

分析：因為△NGD～△NFB，所以DN：BN=DG：BF=，DG=BF因為EF⊥BD且ABCD為正方形所以∠BEF=∠BFE=，BP=1所以PF=EP=BP=1所以BF=BE=所以DG=BF=.EM=BE=BF=，AB=BC=EH=4BE=4，MH=EH=3，BD=AB=8因為△QDG～△QMH所以因為DQ=MQ，DQ+MQ=DM=BD=6所以DQ=，MQ=，OP≠OQ.

對于蝴蝶定理在圓中的證明本文中已經有許多講解，在此不做過多贅述，但對于蝴蝶定理在三角形及四邊形中的推廣很少見，因此先著重介紹一下定理2.6：該定理是由兩條直線相交并通過線段構造三角形，證明方法簡單，思路新穎，在此基礎上經過導師講解了一定數量的推廣，思考了正方形中的推論。該定理同樣構圖簡單題目明了，但對于條件思考有所欠缺，所以并沒有將最終結果得出。因此，通過證明得知該猜想不成立，但定理通過比例，相似等一些方法得出了最終結論內接于四邊形的蝴蝶并不滿足蝴蝶定理的對應關系，同樣的定理推出了OP≠OQ，就是說該定理的結論其實并不成立，研究就是要有大膽的猜想雖然此定理證明失敗了，但是通過我的努力為蝴蝶定理在正方形中的推廣做出了一些成果。

上面的猜想中的基本圖形是正方形，弦的位置的是正方形的內部。而這個猜想的失敗說明不是每個方向的推廣都是可以成立的。至于具體還有哪些成立的推廣方向還有待進一步探討。

四、結語

筆者在閱讀大量的參考文獻后通過老師的講解確定了自己的研究方向并總結了一定量的推廣展示于本文中，在思考核心結果的初期受到定理1.2的啟發思考了關于蝴蝶定理在圓切線外的推廣。由此便有了圖3.1與圖3.2的推論，但在推論過程中思考欠佳所以導致這兩個猜想無法進行可靠有效的證明。因此筆者在聽從了導師的建議后開始著手四邊形中蝴蝶定理的推廣，經過自己的鉆研以及與導師的不斷探討最終在定理2.6中獲得思路并得出了猜想3.3關于蝴蝶定理關于在四邊形的推廣，但最終由于本人水平有限沒有能將該推廣完全證明出來，希望大家諒解。（1）關于結果類型。結果分為三個其中前兩種屬于蝴蝶定理在切線上的推論與思考，后一種屬于關于在四邊形里的推廣。前兩種由于條件不夠充分造成證明不成立，第三種則是由比例證得。（2）關于結論優缺點。關于圖3.1該定理優點在于創新出新的弦與圓相交的方式但由于圓中弦的加入導致定理并無創新變化證明也與其往常形式類似。關于圖3.2該定理明顯與上個定理差別較大結構更加緊湊線與線的交匯也很合理核心問題在于圓內交點過少對證明影響較大。

參考文獻

[1] 梁林，陶布，胡釗.淺談蝴蝶定理的再推廣及其應用[J].楚雄師范學院學報，2011，26（9）：37-46.

[2] 張景中.新概念幾何[M].北京：中國少年兒童出版社，2002，1.

[3] 宋慶.一道女子數學奧林匹克試題的再證[J].中學數學，2008，4.

[4] 沈文選，楊清桃.幾何瑰寶：平面幾何500名題暨1000條定理下[M].哈爾濱工業大學出版社，2010.

[5]楊俊林.蝴蝶定理及其推廣[J].上海中學數學，2010（3）：42-44.