動態數學對數學課程內容的影響

王鵬遠

目前關于信息技術和人工智能環境下教育變革的討論很熱烈，但多屬于宏觀的討論，多集中在技術對教學模式、學習主體、課堂革命、教學評價的影響等方面，而結合具體學科教學的討論明顯不足。本文僅就動態數學對數學課程內容的影響作些初步的探索，與專家和教師同行切磋。

如何看待數學課程內容的作用

《高中數學課程標準》的基本理念第9條是這樣表述信息技術對數學課程影響的：“現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程內容，數學教學，數學學習產生深刻的影響。”這里把數學課程內容擺在了第一位，足見數學課程內容的重要性。

我們整個教學活動都是圍繞現行教材進行的，教師的教學和學生的學習都離不開教科書。盡管教學方式靈活各異、學習方式多種多樣，但不管采取怎樣的教學和學習方式，最終都是要求學生更好地理解和掌握特定的教學內容。

數學課程內容涉及內容的選擇、編排和呈現方式。精心挑選和科學編排的教學內容應該能激發起學生的學習興趣和好奇心，而不是讀來索然無味;精心挑選和科學編排的內容應該更能突出數學味道、啟發學生的理性思考，而不是把數學概念和結論簡單地告知學生。隨著時代的進步，教材的編輯應該考慮到信息技術對其的影響。

課程改革后的教材已經考慮到信息技術的因素，但由于信息技術發展的速度遠遠超前于紙質教科書的編輯出版，信息技術在數學教學的潛力也還未被人們充分認識，因此當前數學課程內容中信息技術的應用還很不夠，還有很大的提升空間。

什么叫動態數學

動態數學軟件是專為數學教學開發的專業學科教學平臺。Mathematica是有近三十年歷史的專業性大型數學軟件，其計算與繪圖功能極為豐富強大，多年來已經在大學數學教學中被廣泛使用。開發此軟件的Wolfram公司借助Mathematica的強大數學功能，于2011年推出可計算電子文檔格式CDF，使用戶能輕松實現文檔內容的交互式處理。CDF支持多種文檔元素，如滑塊、菜單和按鈕，內容包括格式化文本、表格、圖象、聲音和動畫。此軟件功能強大，價格昂貴，且依賴于編程，所以不太適合中學使用。

現在已在國內中學使用的動態數學軟件主要有兩種，即幾何畫板和超級畫板。幾何畫板是20世紀80年代在美國國家科學基金支持下推出的世界上第一個動態幾何軟件。20世紀90年代幾何畫板中文版開始在大陸推廣，受到不少數學和物理教師的喜愛。由于幾何畫板對代數方面的課程內容支持不足，且對用戶的操作技巧要求略高，我國張景中院士主持的團隊在1996年研發推出了具有我國自主知識產權的動態幾何軟件，經20多年的發展改進，形成了“超級畫板”。

超級畫板吸收借鑒了幾何畫板的主要優點，增加了符號計算、智能畫筆、公式表示、幾何推理以及編程環境等支持基礎數學教學需求的功能，其特征從動態幾何發展到了動態數學，更為易學好用。國外的GeoGebra、Cabri 3D等都屬于動態數學軟件，它們共同的基本特點是所構造的對象具有動態性，在鼠標拖動或參數驅動時，在保持預設關系的條件下運動變化，因而有很強的交互性。這類軟件適用于教與學的多個環節，且特別支持探究性學習，因而受到教育領域的廣泛好評。

舉一個正弦波疊加的例子以加深對動態數學的認識。如圖1中的幾個圖是正弦波疊加成為方波的過程，正弦波的疊加自然是基于三角級數的計算實現的。用鼠標依此不斷地選擇按鈕“n增加到1”，屏幕將展現出從n=1逐次增加時正弦波疊加的過程，充分體現了人機交互功能。這個效果是紙質教材不可能實現的。

類似的用于中小學數學教學的例子還有很多，如圓面積公式的說明、圓錐截線的展示、函數性質的研究等。雖然動態數學軟件已經在我國不少學校推廣了許多年，但尚未普及，大多數數學教師甚至還沒有見到過動態數學軟件，而且對于已經應用過這類軟件的老師也缺乏對動態數學深刻影響數學課程內容的整體認識。

動態數學對數學課程內容的影響

1.對激發學生興趣與好奇心的作用

人工智能時代，數學教學不應局限于教會學生具體的知識和技能，在數學教學中如何培養學生的創新意識應該受到關注。數學教學培養學生創新意識應該從激發學生的興趣、好奇心，培養學生的問題意識和想象力入手，動態數學能在這方面發揮一些作用。

我們以“ 函數概念的引入”一課為例來說。函數是刻畫客觀世界運動和變化的數學模型，與實際生活聯系廣泛。函數又是從常量數學到變量數學轉折的門檻，是教學的難點。我們認為可以從函數的引入入手，借助信息技術創設最佳的教學情境，化解這個教學難點。抽象的數學概念總需要從若干具體的事例出發抽出事物共同的本質屬性。選擇怎樣的具體事例，提出怎樣的問題啟發學生思考是數學概念教學需要關注的，函數概念的教學尤其是這樣。

傳統教材是通過實例引入變量與函數，如汽車行駛的時間與路程的關系，電影院售出電影票的票價、張數與票房收入的關系等。課本的本意是從這些問題入手，引導學生填表和列式，讓學生通過上述活動思考：能否用含有x的式子表示y，繼而對其數量關系進行抽象和概括，從中認識常量和變量的特征，并抽象出兩個變量互相聯系，當其中一個變量取定一個值時，對應另一個變量唯一確定的數值，由此引出函數概念。

由于技術手段的限制，以上問題都是通過靜態呈現的，不易凸顯函數是刻畫運動和變化的數學模型。所列舉的實例顯得平淡，難以引發學生的認知沖突，讓學生思考的問題單一，給學生造成的第一印象是：“函數就是一個變量能夠用含有另外一個變量的式子表達”，這其實并沒有突出函數概念的本質。我們知道，對應法則才是函數概念的要素，對應法則多種多樣，解析式僅是表達函數對應法則中的一種，函數的對應關系不僅僅能用解析式表達，且有些函數的對應法則根本無法用解析式表達，所以函數的表示不等同于函數概念的本質。

如果我們從一個問題引入函數：紙盒的容積何時最大？把一個5厘米見方的正方形紙片剪去四角后折成一個紙盒，使紙盒的容積最大，剪去的小正方形的邊長該是多少？如圖2，在動態數學的課件中用鼠標拖動點X，四角小正方形的邊長發生變化，右邊的紙盒同時發生變化。這個動態的數學課件生動地把變化與對應呈現在學生眼前。課件中有多個按鈕，可以根據教學需要打開相應的按鈕，例如可以動態地呈現出四角正方形的邊長與對應的紙盒容積等數據。數學有用、數學有趣，盡在不言中。抽象的函數以這樣的方式與學生見面，對照課本的例子，這個動態課件即生動又深刻。類似的例子還有很多。

我們設想，如果把動態數學課件與紙質的教科書的相關內容配套，形成一系列立體化的教學資源，應該是一種創新，且必將大大改善數學教學的面貌。如果能借助于網絡呈現與教學同步的立體化教學資源，應該有助于優質教育資源的共享，解決教育資源配置不平衡的問題。

2.借助動態數學增進學生的數學理解

動態數學的價值不僅在于激發學生興趣，更重要的是增進學生的數學理解。還是通過一些實例說明動態數學的價值。

傳統教學中研究函數性質時，一般通過“列表、描點、連線”法，先畫出圖象，然后從觀察圖象的走勢得出函數性質。在沒有計算機的情況下，由于計算繁復，只好選擇求值列表，畫出少許的點，再憑感覺連線畫圖象。其實，有了動態數學的幫助，讓數據說話是研究函數性質更直接、更重要的方法，要知道快速計算是計算機的拿手好戲。如研究函數? 的單調性。我們從-3到3取了10個值，然后列表、描點、連線，得到函數圖象的是位于一三象限遞增的直線。根據已經畫出的圖象不難得到函數在整個定義域是遞增的。

這個結論對嗎？讓我們通過計算驗證以上結論。通過拖動變量尺的滑鈕可以觀察函數變化過程中的一系列數據，在[-10，10]這個區間，函數確實是遞增的，但變量的范圍擴大后，上述結論就不對了。在x=10時，函數值為20，但x大于10，函數就遞減了。為什么會出現前面的誤判呢，原因是我們犯了以偏概全的錯誤，前面畫出的圖象僅僅是整個圖象的一小部分，如圖3。

于是問題來了，對于二次函數我們也是取了-3到3中的幾組數據，而后列表、描點、連線畫出的圖象，是否也會出現“以偏蓋全”的誤判呢？當x從0增加到20、50、100，…，情況怎么樣？畫圖驗證太費時費力，但借助動態數學觀察大數據卻輕而易舉。當然，依靠大數據可以支持的猜想，最后還需要補充邏輯證明。研究函數性質時應該特別關注對函數解析式特點的研究。當學生的知識還達不到邏輯論證的水平時，讓數據說話是對函數性質最好的說明。這涉及對現行教材的改造，這部分教學內容的整體編排和呈現應更加體現數學特有的理性思考。研究函數性質不單純依靠傳統“列表、描點、連線”畫圖的方法，有時可以借助分析函數解析式的特點，或借助動態數學提供的動態計算得出的大數據獲得函數性質的有關信息。

借助動態數學增進學生的數學理解是很有意義的研究課題。

3.動態數學促進學生的自主探究

《高中數學課程標準》中還提到“學生對于數學概念、結論、技能的學習不應只限于接受、記憶、模仿和練習，提倡自主探究、動手實踐、合作交流，閱讀自學等學習數學的方式。”動態數學為這種學習方式提供了理想的平臺。

如“有關費馬點的探尋”課例。費馬點是指三角形中這樣一個點，它到三角形三個頂點的距離的和最短。這在歷史上曾經是一個難題，經過多年的探索才得到答案。現在借助動態數學軟件，通過實驗的方法可以很快發現這個點的位置。我們選擇每個內角都小于120°的三角形在計算機上進行實驗。

實驗步驟為：在計算機上畫出三角形ABC，任取一點P，連接PA、PB、PC;測量PA、PB、PC的長，并計算三者之和;拖動點P，觀察屏幕上數據的變化，猜測費馬點的位置;用動態數學軟件的作圖功能作出費馬點;測量費馬點到三角形三頂點距離之和，拖動點P驗證費馬點到三頂點距離之和最小;與計算機的圖形對應給出完整的證明;通過鼠標拖動改變三角形形狀，考慮一個內角等于或大于120°的情況;寫出實驗報告。

還可以將活動進行延伸：查閱費馬點提出的歷史、查閱費馬其人其事、提出與費馬點相關的更多值得探究的問題。可以結合這次探究活動組織課外閱讀，專題報告或討論會，撰寫數學小論文。

動態數學為數學實驗、數學探究提供了理想的實驗平臺，我們可以借此組織豐富多彩的數學探究活動。

作者單位：北京大學附屬中學