一道高考題多視角探究與解析

江蘇省江陰市青陽中學 譚 穎

一題多解即多視角探究有利于同學們開闊思維，全面理解某個知識點。通過一題多解多視角探究的訓練，同學們可以把問題想得廣、想得深，從而激活解題思路.而一題多解的目的不在于“多解”，而在于思維的“多層性”與“創造性”，在于讓同學們從多解中分析出解法的優與劣，從而獲得思維水平更高的解法。在高三復習過程中，一題多解，多視角探究是常見的教學方式，教師在課堂設計上要充分發揮每一道例題的教育功能，深刻挖掘其內涵，激發學生學習數學的興趣，使不同層次學生的數學思維能力在多視角探究過程中都能得到提高，也就是說不同層次的學生都能夠利用自己所掌握的數學知識解決問題，并逐步培養起主動探究的創新意識。下面以一道高考題為例，談談平面向量題的多視角探究，希望對同學們學習平面向量有所幫助。

2017年江蘇高考題第12題。如圖，在同一個平面內，向量的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°。若(m,n∈R)，則m+n=_____。（答案：3）

分析：本題是以向量的模這一基本特征為載體，以平面向量的線性運算和平面向量的基本定理為依托，考查幾乎涵蓋平面向量的所有知識點，即向量的概念、向量的夾角、向量的線性運算、向量的坐標運算以及向量的數量積等知識。

視角一（幾何法）：構造三角形，利用正弦定理進行求解。

解：以OC為對角線，OA，OB為鄰邊作平行四邊形OMCN，

則在△OCN中，∠BOC=45°，∠OMC=∠OCN=α，

∠ONC=135°-α，在△OCN中，由正弦定理得：

又因為tanα=7，且α∈[0,180°]，所以α為銳角，

解析：既有大小又有方向的量稱為向量，向量的大小就是向量的長度（或稱為向量的模），由向量這一特征可知，向量具有鮮明的幾何特征，而本題也恰恰明顯地給出了此特征，通過向量的模（實際上就是的長度），根據向量加法得平行四邊形法則構造三角形，再加上“與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°”這一條件，很自然地聯想到解三角形，即正弦定理的使用，結合有關三角函數知識，直觀形象，解法簡捷而明了，數形結合思想在平面向量中得到了很好體現。

解析：平面向量數量積的基本知識是數學教學中必須熟練掌握的，主要包括對定義的理解、對運算律的熟識、對公式的記憶及數量的運用以及對特殊規律的熟練掌握。高考要求學生對平面向量的數量積的表達式（其中θ為向量夾角)熟練運用，對其幾何意義進行深刻的理解，還要求對其投影的理解以及特殊規律，即公式的掌握。本題突出了這方面考查，本視角抓住該公式這一特殊規律，并對其進行了很好的運用，收到了意想不到的效果，由，可得，這樣直接進行模的計算，進而代數運算，這樣使學生從陌生的向量運算轉化到最熟悉的代數運算，學生會輕而易舉解答此高考題。

解析：視角三根據平面向量的坐標運算是平面向量的又一大特征，本題雖然沒有直接給出建立平面直角坐標的條件，但是此題隱含著建系的條件，因為題中給出的向量夾角以及和夾角的三角函數值，由這個角與函數值之間的關系，很自然地聯想到建立坐標系，利用平面向量的坐標運算來求解，向量的坐標運算將向量與代數有機結合起來，這為探究和解決有關向量問題提供強有力依據，結合向量的意義和作用脫去“向量外衣”，轉化為我們熟悉的數學問題，即純粹的代數運算，再結合方程思想進行求解，體現方程思想方法在數學解題中的作用，大大減少了思維量，不過有時候運算量會相應地增加了，本題運算量不是很大。