例談多面體外接球半徑的常見求法

湖北省荊州市沙市第五中學(xué) 張勝言

方法：首先構(gòu)造簡單的幾何體，如長方體、正方體、三棱柱等，易作出這些簡單幾何體的外接球，從而求解。

定義：若一個多面體的各個頂點(diǎn)都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。

一、長方體、正方體外接球的半徑

1.長方體：因?yàn)殚L方體外接球半徑是體對角線長的一半，設(shè)長方體長、寬、高分別為a,b,c，外接球半徑為r，則（如圖1）。

圖1

圖2

二、三棱柱外接球半徑

1.底面是直角三角形的直三棱柱

把三棱柱補(bǔ)成長方體，易求（如圖3）。設(shè)底面三角形兩直角邊長分別為a,b，直三棱柱高為c，則外接球半徑為r，則

圖3

圖4

2.正三棱柱

如圖4，正三棱柱球心O在兩底面中心O1,O2的中點(diǎn)處，設(shè)底面邊長為a，高為h，外接球半徑為r，構(gòu)造Rt△A1OO1，則

三、三棱錐外接球半徑

1.三條棱互相垂直的三棱錐

如圖5，把它補(bǔ)成以這三條互相垂直的棱為長、寬、高的長方體，易求。

2.三組相對棱分別相等的三棱錐

圖7

3.正四面體

例題1 如圖7，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，F(xiàn)A折成一個三棱錐B-AEF（使點(diǎn)B,C,D重合于點(diǎn)B），則三棱錐B-AEF的外接球半徑為________。

圖8