高考中數(shù)列不等式證明問題的探究

湖北省孝感高級(jí)中學(xué) 周 飛

數(shù)列是高考中數(shù)學(xué)考查的重要內(nèi)容，數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的關(guān)系十分密切，高考中數(shù)列常以與這些知識(shí)的綜合為考查對(duì)象，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力、分析和解決問題的能力、數(shù)學(xué)歸納能力及綜合創(chuàng)新能力。而且數(shù)列中的遞推思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想以及數(shù)列求和、求通項(xiàng)公式的各種方法和技巧在中學(xué)數(shù)學(xué)中都有重要的地位，因此圍繞數(shù)列可以命制綜合性較強(qiáng)的試題。歷年來，數(shù)列一直是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，甚至有些省份設(shè)置的是難題。下面就高考中數(shù)列不等式問題,談?wù)剮追N策略在證明不等式中的運(yùn)用，并作一些歸納和探究。

一、利用基本不等式拆項(xiàng)，構(gòu)造類似等比數(shù)列的不等式，迭代法證明不等式

二、方冪合并，把相鄰的合并，通過放縮變成一個(gè)便于求和的式子，從而證明不等式

本題證明過程中，將項(xiàng)合并，通過放縮將每一個(gè)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的和求出即可。

三、奇偶合并，把一奇一偶的兩項(xiàng)合二為一，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，以達(dá)到證明的目的

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

如果直接對(duì)不等式進(jìn)行放縮很難達(dá)到目的，若注意到通項(xiàng)公式中含有，是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，則可以將相鄰的奇偶合并，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s方法，可有效解決問題。

四、利用二項(xiàng)式定理放縮不等式

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）得：

在不等式證明中，與整數(shù)指數(shù)冪有關(guān)的不等式證明，根據(jù)其不等式結(jié)構(gòu)特征，直接運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開，結(jié)合放縮法去證明，往往能出奇制勝、獲得簡(jiǎn)潔、新穎的證明方法。同時(shí)也達(dá)到了對(duì)學(xué)生證題技能和創(chuàng)造力的過程目標(biāo)。當(dāng)然，選取不同的放縮方式還可以這樣證明：

五、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

例5 已知數(shù)列{an}滿足：

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式：

（1）當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k(n≥2)時(shí)，不等式成立，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，由（1）（2）得原不等式成立。

證明過程中構(gòu)造一個(gè)不等式，先用數(shù)學(xué)歸納法證明再求和，最后合理放縮以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，從而使命題得到證明。

六、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

（1）若x≥0時(shí)，f(x)≤0，求λ的最小值；

（2）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)，證明：＞ln2。

本題是一道以函數(shù)為載體的數(shù)列綜合題，考查導(dǎo)數(shù)、數(shù)列求和、不等式等知識(shí)、能力，充分體現(xiàn)了數(shù)列的綜合性。在證明過程中對(duì)運(yùn)算求解能力，推理論證能力有較高要求。利用導(dǎo)數(shù)證明的一個(gè)函數(shù)不等式，通過巧妙地賦值得到一個(gè)數(shù)列的不等式，在證明過程中先分拆，后累加合并，使命題的證明得到有效控制。